Пусть биссектрисы внешних углов В и С пересеуаются в точке Д. Предположим что угол АВС=gamma;а угол АСВ=betta; тогда угол СВД=(Пи/2-gamma/2); а угол BCD=(Пи/2-betta/2); угол АВД=(ПИ/2+gamma/2); угол АСД= (Пи/2+betta/2) .
Тогда BD/sin(DAB)=AD/sin(ABD); and CD/sin(DAC)=AD/sin(DCA);
BD/sin(DCB)=CD/sin(DBC)=>CD=BD*sin(DBC)/sin(DCB);
sin(DAB)=BD*sin(ABD)/AD ; sin(DAC)=CD*sin(DCA)/AD; подставляем
sin(DAC)=BD*sin(DBC)*sin(DCA)/(sin(DCB)*AD);
sin(ABD)=sin(pi/2+gamma/2)=cos(gamma/2); sin(DBC)=sin(pi/2-gamma/2)=cos(gamma/2); sin(DCA)=sin(pi/2+betta/2)=cos(betta/2);sin(DCB)=sin(pi/2-betta/2)= cos(betta/2); подставляем
sin(DAB)=BD*cos(gamma/2)/AD;
sin(DAC)=BD*cos(gamma/2)*cos(betta/2)/(cos(betta/2)*AD);
сокращаем получаем sin(DAC)=BD*cos(gamma/2)/AD=sin(DAB) ; => DAB=DAC
Проведем высоту СМ. И рассмотрим получившийся четырехугольник ВАМС, это прямоугольник, так как ∠А=∠В=90, и ∠М=∠С=90(по опр. высоты) ⇒ВА=СМ=6, и ВС=АМ=6.
Рассмотрим ΔСМD: СМ мы провели так, что она разделила ∠ВСD=135, на ∠МСВ=90 и ∠МСD=45. Если ∠МСD=45, а ∠СМD=90(по опр. высоты), то ∠СDM=45(по теореме о сумме ∠ в Δ) ⇒ ΔСМD - равнобедренный (по признаку) ⇒ СМ=MD=6(по опр. равноб. Δ)
Найдем основание трапеции: АМ+МD
6+6=12
Найдем площадь:
S=
ответ:54