Пусть будет трапеция АВСD, BC и AD - основания. Площадь трапеции - это полусумма оснований помноженная на высоту. Высоту не обязательно опускать из вершины. Проведём высоту так, чтобы центр вписанной окружности лежал на ней. Пусть это будет высота НК, О - центр вписанной окружности. Это возможно, если точки Н и К - точки касания окружности с основаниями трапеции (радиус, проведённый в точку касания, перпендикулярен касательной). Средняя линия трапеции - это полусумма оснований, значит, площадь трапеции можно найти как средняя линия помноженная на высоту. У нас есть длина средней линии - 5, и если площадь - 40, значит, высота НК=40\5=8. НК=ОН+ОК=2ОК => ОК=8\2=4 - радиус вписанной окружности.
Треугольники EAB и FAD подобны, поэтому EB/FD=AB/AD. Аналогично, треугольники BAK и DAL подобны, поэтому BK/DL=AB/AD. Значит EB/FD=BK/DL С другой стороны треугольники EBC и LDC подобны, поэтому EB/DL=BC/CD. Аналогично, треугольники BKC и DFC подобны, поэтому BK/FD=BC/CD. Значит EB/DL=BK/FD. Перемножим полученные равенства EB/FD=BK/DL и EB/DL=BK/FD. Находим, что EB²/(FD·DL)=BK²/(DL·FD). После сокращения, EB²=BK², т.е. EB=BK. Отсюда и из равенства EB/FD=BK/DL следует, что и FD=DL. Все подобия здесь по двум углам в силу парллельности прямых EK и FL.
Объяснение:
7) Тр-к ABD - прямоугольный
ВD=AB*cos45 = 5
Тр-к BDC - прямоугольный
по т.Пифагора BC =√(BD^2 + CD^2) = √(25 + 11) = 6
8) Пусть BC - меньшее основание, AD - большее в трапеции ABCD. AC - диагональ.
BC||AD (по признаку трап.), <BCA=<CAD - накрест леж., По условию <BCA = <ACD
Следовательно <CAD= <ACD и образуют р/б тр-к ACD, отсюда CD=AD=17
Проведем высоты BH и CH1 к AD. BC=HH1=1 (прямоугольник). Т.к. трапеция р/бокая, то AH=DH1 = (AD - HH1)/2 = (17-1)/2=8
Тр-к ABH - прямоугольный. по т.Пифагора
BH = √(AB^2 - AH^2)=√(289 - 64) = 15
S = 1/2*(BC + AD)*BH = 1/2* (1+17)*15 = 135