В треугольнике ABC сторона BC = 9 см. Найдите длину отрезка с концами на сторонах AB и AC, параллельного стороне BC и через точку пересечения медиан треугольника ABC.
Первое, что нетрудно доказывается, --- треугольник АВК прямоугольный. Площадь прямоугольного треугольника = половине произведения катетов))) гипотенуза АВ = 4 --это очевидно из получившейся трапеции... а чтобы найти катеты не хватает известных углов))) на рисунке есть два равных треугольника: треугольник АВК равен половине равнобедренного треугольника с боковыми сторонами 4 ---по гипотенузе и острому углу))) из этого очевидно: АК = 2*КВ по т.Пифагора 4х² + х² = 16 ---> 5x² = 16 S(ABK) = (1/2)*x*2x = x² = 16/5 = 3.2
трапеция АВСД, МН-отрезок, ВС=1, АД=6, МН=4, продлеваем боковые стороны до пересечения их в точке О, треугольник АОС подобен треуг.МОН и ВОС по двум равным соответственным углам при основании треугольников, в подобных треугольниках площади относятся как квадраты соответствующих сторон, ВС²/АД²=S треуг.ВОС /S треуг.АОД, 1/36=S ΔВОС/S ΔАОД, S ΔВОС= SΔАОД/36, МН²/АД²=S ΔМОН/S ΔАОД, 16/36=S ΔМОН/S ΔАОД, S ΔМОН=16S ΔАОД/36, S трап.МВСН=S ΔМОН-S ΔВОС=16S ΔАОД/36 - S ΔАОД/36=15S ΔАОД/36, S трапец.АМНД=S ΔАОД - S ΔМОН=S ΔАОД - 15S ΔАОД/36=21S ΔАОД/36, трап.МВСН / трапец.АМНД = (15S ΔАОД/36) / (21S ΔАОД/36)=15/21=5/7
поставь лучший ответ
точка пересечения медиан(центроид) делит медианы треугольника в соотношении 2:1
HK-отрезок на пересечении медиан
поскольку BC||HK ==> углы AHK=ABC AKH=ACB==> треугольник ABC пропорционален треугольнику AHK
за теоремой Фалеса о пропорциональных отрезках
(за ус. задачи HK Є центроиду) соотношение размеров за медианами 2:1
треугольник AHK= 2
ABC= 2+1=3
ABC:AHK=3:2
BC:HK=9:X
X=9/3*2
X=6
ответ HK=6