1 задание
Согласно теореме о свойствах равнобедренного треугольника если два угла треугольника равны, то этот треугольник - равнобедренный.
∠ВАС = 50°; ∠АВС = 80°.
Сумма внутренних углов треугольника всегда равна 180°.
∠ВСА = 180° - (50° + 80°) = 180° - 130° = 50°.
По градусной мере ∠ВАС и ∠ВСА равны, а это значит, что треугольник АВС - равнобедренный.
2 задание
Если продолжить линию DB, то эта линия пересечёт точку М и создаст линию ВМ, которая является стороной параллелограмма АМВС, которая параллельна стороне АС. А как известно, параллельные не пересекаются. А так как линия включает в себя и ВМ, и BD, то и BD никогда не пересечётся с AC.
3 задание
∠МАВ = ∠АВС как внутренние накрест лежащие. Если учитывать МВ, то получается два одинаковых треугольника - АМ || СВ, АВ - общая сторона.
1. Угол между наклонной к плоскости и плоскостью - это угол между наклонной и ее проекцией на плоскость. Искомый угол - угол МАО. Высота правильного треугольника равна h=(√3/2)*a = (√3/2)*2√3=3. АО=(1/3)*h = 1 (свойство медианы). Tg(<MAO) = MO/AO = √3.
ответ: α = arctg√3 = 60°
2. Искомый угол - угол между наклонной и ее проекцией, то есть угол АВК. Sin(<ABK) = KA/KB = AC*tg60/5 = 5√3/11. <ABK = arcsin(0,787) ≈ 51,9°.
3. Опустим перпендикуляры SP и SH из точки S к сторонам АВ и АD соответственно. Прямоугольные треугольники APS и AHS равны по гипотенузе и острому углу. Значит АР=АН и АРОН - квадрат. тогда АО = АН*√2 (диагональ квадрата), АS = 2*АН (в треугольнике ASH катет АН лежит против угла 30°, а AS - гипотенуза). Косинус искомого угла (между наклонной AS и плоскостью АВСD, равного отношению проекции наклонной к наклонной) = АО/AS = АН√2/(2*АН) = √2/2.
ответ: искомый угол равен 45°.
