Question

Трапеция A1B1C1D1 - изображение трапеции ABCD, в которой AB=CD=AD DC меньше AD. Постройте изображение центра круга, которое прикасается к боковым сторонам и большей основе трапеции ABCD

Answer 1

Чтобы найти центр круга, который прикасается к боковым сторонам и большей основе трапеции ABCD, мы можем воспользоваться свойством, что радиус круга, проходящий через точку касания, является перпендикуляром к соответствующей стороне трапеции.

Построим перпендикуляры к боковым сторонам трапеции ABCD. Пусть M1 и N1 - середины сторон A1B1 и C1D1 соответственно.

Для начала найдем длину сторон A1M1 и B1N1:

Мы знаем, что AB = CD = AD. Также, поскольку трапеция ABCD является изображением трапеции A1B1C1D1, то AB || A1B1 и CD || C1D1. Значит, по теореме Пифагора, получим:

AM1 = √(AD^2 - DM1^2)
BM1 = √(AD^2 - DM1^2)

Для определения DM1 воспользуемся теоремой Фалеса:

DM1 / BM1 = CD / AB = DC / AD

Так как CD = DC и AD > DC, получим:

DM1 / BM1 = CD / AB = 1/2

Отсюда можно выразить DM1:

DM1 = BM1 / 2

Теперь мы можем найти длины сторон A1M1 и B1N1:

AM1 = √(AD^2 - (BM1 / 2)^2)
BM1 = √(AD^2 - (BM1 / 2)^2)

Теперь построим перпендикуляры из точек M1 и N1 на стороны AB и CD соответственно:

Пусть P1 и Q1 - точки на стороне AB, такие что P1M1 и Q1N1 перпендикулярны AB.

Теперь мы можем найти длину стороны A1P1 и B1Q1:

AP1 = AM1 - MP1
В предыдущем шаге мы нашли AM1, а MP1 является половиной BM1, значит:
AP1 = AM1 - MP1 = √(AD^2 - (BM1 / 2)^2) - BM1 / 2

BQ1 = BN1 - N1Q1
Аналогично, BN1 и N1Q1 найдутся из данных в предыдущем шаге.

Мы нашли длины сторон A1P1 и B1Q1. Теперь проведем отрезки P1Q1 и найдем его середину - это будет центр круга, который мы ищем.

Построение всех отрезков и нахождение середины P1Q1 может быть выполнено с помощью линейки и циркуля.