У этой задачки есть очень наглядное решение.
Можно взять три взаимно перпендикулярные координатные оси и разместить четыре вершины прирамиды в точках (0,0,0) (1,0,0) (0,1,0) (0,0,1). Легко убедиться, что любая из вершин, кроме (0,0,0), является вершиной трехгранного угла, заданного в задаче.
Сама пирамида при этом представляет собой правильную треугольную пирамиду, "боковые" грани которой - равнобедренные прямоугольние треугольники, а "основание" - правильный треугольник с вершинами в точках (1,0,0) (0,1,0) (0,0,1).
Поэтому искомый угол равен 60 градусам.
Эту же мысль (трудно назвать это решением - уж больно просто:)) можно выразить без упоминания координатных осей. Дело в том, что упомянутая пирамида - это часть обыкновенного куба, отсекаемая плоскостью, проходящей через концы трех ребер, имеющих общую вершину.
Берется какая -то вершина куба АBCDA1B1C1D1, например, А, и проводится сечение через точки В, D и А1, у пирамиды А1BDA все трехгранные углы при вершинах "основания" A1BD соответствуют условию задачи. В самом деле, рассмотрим, например, вершину D. Треугольники ADB и ADA1 - равноберенные прямоугольние, поэтому углы АDB и ADA1 равны 45 градусов. Что же касается двугранного угла между плоскостями АDB и ADA1, то это - двугранный угол между гранями куба :), то есть он равен 90 градусам.
Поэтому трехгранный угол при вершине D пирамиды А1BDA удовлетворяет условию задачи. По условию задачи, нужно найти угол A1DB, но он очевидно равен 60 градусам, поскольку треугольник A1DB равносторонний.
Задание 6
Дано:
ΔADC - равнобедренный
BK = KD
AC = CD
∠BCK = 30°
Найти:
∠CBA - ?
ΔADC - равнобедренный (по рис.) ⇒ ∠B = ∠D (по свойству равнобедр. треуг.).
Отрезок CK - медина (делит противолежащую сторону на две равные) является высотой (по свойству равнобедр. треуг.) ⇒ ∠CKB = 90°.
∠CBK + ∠CKB + ∠BCK = 180° (по свойству треуг.)
∠CBK + 90° + 30° = 180°
∠CBK = 180° - (90° + 30°)
∠CBK = 60°
∠CBK и ∠CBA - смежные ⇒ ∠CBK + ∠CBA = 180°
60° + ∠CBA = 180°
∠CBA = 120°
ответ: ∠CBA = 120°.
Задание 7
Дано:
ΔCAD - равнобедренный
CA = DA
CB = BD
Найти:
∠CBA - ?
ΔCAD - равнобедр. (по рис.)
⇒ Отрезок BA - медианой (делит противолежащую сторону на две равные), является высотой (по свойству равнобедр. треуг.) и образует углы (∠CBA и ∠DBA) в 90°.
⇒ ∠CBA = 90°
ответ: ∠CBA = 90°.
Задание 8
Дано:
ΔDBK - равнобедр.
DM = MK
DB = BK
∠K = 70°
Найти:
∠CBA - ?
ΔDBE - равнобедр. (по рис.)
BM - медиана (делит противолежащую сторону на две равные)
⇒ BM - биссектриса и высота (по свойству равнобедр. треуг.)
⇒ ∠BME = 90°.
∠K + ∠BME + ∠MBE = 180° (по свойству треуг.)
⇒ 70° + 90° + ∠MBE = 180°
∠MBE = 180° - (70° + 90°)
∠MBE = 20°
Т.к. BM - биссектриса, то ∠DBE = 2∠MBE = 40°
∠DBE и ∠CBA - вертикальные
⇒ ∠DBE = ∠CBA = 40°
ответ: ∠CBA = 40°.
в) 28
Объяснение:
Ромб - це чотирикутник, у якого всі сторони рівні. Його периметр це сума довжин 4 рівних сторін, або добуток довжини однієї сторони на 4.
Оскільки довжина сторони ромба є цілим числом, то периметр має націло ділитися на 4. З усіх варіантів підходить тільки в)