Все эти треугольники имеют одну и ту же окружность Эйлера, а значит, у них одинаковые радиусы описанных окружностей. Раз равны и радиусы вписанных, то равны (по формуле Эйлера) и расстояния от центров вписанной и описанной окружностей для каждого треугольника. То есть эти треугольники AHB, BHC, CHA удовлетворяют теореме Понселе для заданной пары двух окружностей (одна описанная и одна вписанная).
То есть есть фиксированная пара вложенных окружностей, в которую можно поместить каждый из этих треугольников так, что большая окружность будет описанной, а меньшая - вписанной.
Для теоремы Понселе для треугольника легко доказать что, если у двух треугольников с ОБЩИМИ вписанной и описанной окружностями есть одинаковые стороны, то они равны (с точностью до симметрии).
(Если бы это было не так, то из леммы трезубца следовало бы, что центр вписанной окружности совпадает с центром описанной. )
Поэтому все три треугольника AHB, BHC, CHA равны между собой.
Я не очень боюсь выкладывать идею решения - по двум причинам. Во-первых, этот пост легко можно признать нарушением правил и удалить. Во-вторых, сама задача должна быть удалена согласно правилам сервиса.
Так что эта публикация не нарушает моего решения не выкладывать ответы на этом сервисе (до возврата к правилам 2012 года, когда я тут начинал что-то решать).
Согласно свойствам трапеции:
В трапецию можно вписать окружность, если сумма длин оснований трапеции равна сумме длин её боковых сторон.
Средняя линия трапеции параллельна основаниям и равна их полусумме
Т.к. имеем равнобедренную трапецию => одна боковая сторона=полусумме оснований => боковая сторона равна средней линии.
назовем боковую линию АВ, соответственно отрезки будут АМ и МВ
получаем, АМ/МВ=9/16.
АМ=АВ-МВ => АВ-МВ/МВ=9/16 => 9МВ=16АВ-16МВ => 25МВ=800 => МВ=32.
соответственно АМ=АВ-МВ=18
ответ: S(бок) = 850 мм²
Объяснение:
Диагонали ромба в точке пересечения делятся пополам
Пусть отрезки а = 15/2= 7,5 мм и b = 25/2 = 12,5 мм.
Диагонали ромба перпендикулярны друг другу, значит пересекаясь они образуют 4 равных прямоугольных треугольника, где половины диагоналей катеты, а сторона ромба - гипотенуза. По Пифагору
Сторона квадрата с^2 = a^2 + b^2 = 7,5^2 + 12,5^2 = 56,25 + 156,25 = 212,5 мм²
Но квадрат стороны и есть площадь квадрата. Значит боковая поверхность (четырех квадратов с площадью 212,5) будет
S(бок) = 4*212,5 = 850 мм²