В остроугольном треугольнике АВС проведена высота ah и медианы АА1, ВВ1 и СС1. Найдите сумму периметра и длин диагоналей четырёхугольника с вершинами в точках A1, B1, C1 и Н, если АВ=10, АС=11, улог С=60°.
Вот наконец пришла весна! Засветило яркое солнце, растаял снег, зазеленела трава! У всех повысилось настроение! Ребята начали ждать пернатых гостей : скворцов, грачей, ласточек. Ребята из нашей школы не сидят без дела. На уроках труда они мастерят скворечники. Они очень стараются, надо чтобы все пернатые гости нашли свой домик. Внутрь кладут вкусности : пшено, печенье, семечки. Рано утром в небе появились пернатые гости! Сначала прилетели грачи, затем скворцы, а ещё позже - ласточки. Гости начали занимать новые жилища. И вот уже возле каждого скворечника сидит парочка первых весенних птиц. Скоро из этих домиков будет слышен писк желторотых птенцов.
<ATM = 90°. Тогда треугольник ATM - прямоугольный.
По теореме Пифагора найдем ТМ (по условию ТМ - это диаметр окружности).
AM² = AT² + TM²
AM = AE+ME = 2+ 10 = 12.
TM² = AM² - AT² = 12² - 6² = 6²·2² - 6² = 6²·(4-1) = 3*6²,
TM = √(3*6²) = 6*√3.
Искомый радиус равен половине диаметра ТМ.
R = TM/2 = (6*√3)/2 = 3*√3.
Угол между касательной и секущей, проходящей через точку касания, равен половине отсекаемой дуги окружности.
<ATE = (1/2)*дуги_ТЕ,
Но также и вписанный <EMT = (1/2)*дуги_TE,
Тогда <ATE=<EMT=<AMT
Из прямоугольного треугольника ATM
sin(<AMT) = AT/AM = 6/12 = 1/2.
<AMT = arcsin(1/2) = 30° = <ATE.