Question

В треугольной призме ABCA’B’C’ векторAB=(0; 1; -1), векторAC=(2;-1;4), векторAA' = (-3; 2;2). Найти высоту A’H, опущенную на основание ABC.

Answer 1

Для нахождения высоты A’H призмы ABCA’B’C’ опущенной на основание ABC, необходимо использовать свойство перпендикулярности векторов. Шаг 1: Найдем вектор нормали ко всем плоскостям проходящим через каждую из сторон треугольника ABC. Для этого возьмем произведение векторов, лежащих в плоскости. Вектор нормали к плоскости ABC найдем через векторное произведение векторов AB и AC: n_abc = AB x AC AB = (0; 1; -1) AC = (2; -1; 4) n_abc = (1*(-1) - (-1)*2; (-1)*4 - 2*(-1); 0 - 1*(-1)) n_abc = (-1 + 2; -4 + 2; 0 + 1) n_abc = (1; -2; 1) Аналогичные действия проделаем для плоскости BCA': n_bca' = BC x BA' BC = AC = (2; -1; 4) BA' = AA' + A'A' AA' = (-3; 2; 2) A'A' = (0; 0; 0) (вектор, соединяющий точку с самой собой равен нулю) BA' = (-3; 2; 2) + (0; 0; 0) = (-3; 2; 2) n_bca' = BC x BA' n_bca' = (2*(2) - 4*(-2); 4*(-3) - 2*(2); (-1)*(-3) - 2*(-3)) n_bca' = (4 + 8; -12 - 4; 3 - 6) n_bca' = (12; -16; -3) Аналогичные действия проделаем для плоскости CAB': n_cab' = CA x CB' CA = AC = (2; -1; 4) CB' = BA' = (-3; 2; 2) n_cab' = CA x CB' n_cab' = (2*(2) - 4*(-2); 4*(-3) - 2*(2); (-1)*(-3) - 2*(-3)) n_cab' = (4 + 8; -12 - 4; 3 - 6) n_cab' = (12; -16; -3) Шаг 2: Найдем точку H, пересечение трех найденных нормалей (точка принадлежит всем плоскостям): n_abc = (1; -2; 1) n_bca' = (12; -16; -3) n_cab' = (12; -16; -3) Для нахождения точки H воспользуемся методом Крамера: Составим соответствующую систему уравнений: n_abc * AH = 0 n_bca' * BH = 0 n_cab' * CH = 0 (1; -2; 1) * (x; y; z) = 0 (12; -16; -3) * (x; y; z) = 0 (12; -16; -3) * (x; y; z) = 0 1x - 2y + 1z = 0 (1) 12x - 16y - 3z = 0 (2) 12x - 16y - 3z = 0 (3) Так как система линейных уравнений имеет бесконечное количество решений, найдем общее решение, например, в параметрической форме: Представляем неизвестные переменные x, y, z в виде суммы произведения параметра t на соответствующие координаты: x = t y = t z = -2t Теперь найдем вектор AH, который задается разностью векторов H и A: AH = H - A = (t; t; -2t) - (0; 1; -1) = (t; t-1; -2t+1) Шаг 3: Найдем высоту A'H как проекцию вектора AH на нормаль к основанию ABC. Для этого найдем проекцию вектора AH на вектор нормали n_abc: A'H = (AH*n_abc / |n_abc|^2) * n_abc Где: AH*n_abc - скалярное произведение векторов AH и n_abc |n_abc|^2 - квадрат длины вектора n_abc AH*n_abc = (t; t-1; -2t+1) * (1; -2; 1) = t - 2(t-1) - 2t+1 = t - 2t + 2 + 2t + 1 = 3 |n_abc|^2 = 1^2 + (-2)^2 + 1^2 = 1 + 4 + 1 = 6 A'H = (3 / 6) * (1; -2; 1) = (0.5; -1; 0.5) Ответ: Высота A’H, опущенная на основание ABC, равна вектору (0.5; -1; 0.5).