Question

В правильной четырехугольной пирамиде боковое ребро равно 8 дм и составляет с плоскостью основания угол 60 градусов. Найдите площадь полной поверхности

Answer 1

Дано:

Правильная четырёхугольная пирамида.

SD = 8 дм.

∠SDO = 60˚

Найти:

S полной поверхности - ?

Решение:

SO - высота пирамиды => △SOD - прямоугольный.

Сумма острых углов прямоугольного треугольника равна 90°.

=> ∠OSD = 90˚ - 60˚ = 30˚

Если угол прямоугольного треугольника равен 30°, то напротив лежащий катет равен половине гипотенузы.

=> OD = 8/2 = 4 дм.

Если угол прямоугольного треугольника равен 60°, о напротив лежащий катет равен произведению меньшего катера на √3.

=> SO = 4 * √3 = 4√3 дм.

Так как данная пирамида - четырёхугольная, правильная => основание этой пирамиды - квадрат.

Квадрат - геометрическая фигура, у которой все стороны равны.

Диагонали квадрата равны.

У квадрата диагонали точкой пересечения делятся пополам.

=> ABCD - квадрат; BD, AC - диагонали квадрата ABCD; BD = AC.

Так как OD = 4 дм => BD = 4 * 2 = 8 дм => AC = 8 дм.

d = a√2, где d - диагональ квадрата; а - сторона квадрата.

8 = а√2 => a = 8/√2 = 4√2 дм.

Итак, АВ = ВС = CD = AD = 4√2 дм.

S квадрата = а², где а - сторона квадрата.

S квадрата = (4√2)² = 32 дм²

S бок поверхности = 1/2РL, где Р - периметр основания; L - Апофема.

Апофема - высота боковой грани правильной пирамиды, проведённая из её вершины.

Проведём Апофема SK

Проведём прямую ОК.

△SKO - прямоугольный, так SO - высота.

Так как AB = 4√2 дм => ОК = 4√2/2 = 2√2 дм

Найдём Апофему SK, по теореме Пифагора: (c= √(a² + b²), где с - гипотенуза; а, b - катеты)

SK = √(OK² + SO²) = √((2√2)² + (4√3)²) = 2√14 дм.

Р = a * 4, где а - сторона квадрата.

Р = 4√2 *4 = 16√2 дм.

S бок поверхности = 16√2/2 * 2√14 = 32√7 дм²

S полной поверхности = S основания + S бок поверхности = 32 + 32√7 = (32 + 32√7) дм²

ответ: (32 + 32√7) дм²