Question

Две окружности, отношение радиусов которых равно 2/3, касаются друг друга внутренним образом. Через центр меньшей окружности проведена прямая, перпендикулярная линии центров, и из точек пересечения этой прямой с большей окружностью проведены касательные к меньшей окружности. Найти углы между этими касательными.

Answer 1

90 град

Объяснение:

Пусть центр меньшей окружности - точка А, а большей точка В.

Р- точка касания окружностей. Тогда А,В,Р лежат на одной прямой.

Прямая ,которая пересекает перпендикулярно линию центров СТ

С и Т точки пересечения с большей окружностью.

СО и ТО касательные к большей окружности , а М и N  соответственно точки касания.

Так как радиусы относятся как 3:2, обозначим радиус большей окружности 3х, а меньшей 2х, тогда АВ=3х-2х=х

Треугольники АСВ и АТВ равны ( гипотенуза - радиус большей окружности и катет АВ -общий)

Тогда СВ=ТВ=sqrt(AC^2-AB^2)=sqrt(9x^2-x^2)= sqrt(8x^2)

Заметим, что треугольники СОВ и ТОВ тоже прямоугольные и равны между собой ( по 2-м катетам)

Поэтому в дальнейшем будем рассматривать только треугольник СОВ и все , что с ним связано.

Рассмотрим треугольник ВМС - прямоугольный ( радиус перпендикулярен касательной в точке касания)

Тогда МС= sqrt(BC^2-MB^2)=sqrt(8x^2-4x^2)= 2x

Поскольку МВО прямоугольный и МВ - высота, проведенная из прямого угла, то по теореме Эвклида  МВ^2=MC*MO

4*x^2=2*x*MO

=>MO=2x => MO=MC => ВМ является также медианой , а значит по признаку равнобедренного треугольника ОСВ равнобедренный .

Так как угол В=90 град, то углы ОСВ=СОВ=45 град

Поскольку треугольники  СОВ = ТОВ, то угол ТОВ также равен 45 град.

Значит СОТ=45+45=90 град