Question

РАЗОБРАТЬСЯ

Прямая l касается окружности с диаметром AB в точке C; M и N — проекции точек A и B на прямую l, D — проекция точки C на AB. Докажите, что  CD2 = AM . BN.​

Answer 1

Решение : ///////////////////////////////////

Answer 2

Доказательство:

1) См. рисунок 1

∠AMC = 90° т.к M - проекция A на l

∠)OCN = 90° т.к l - касательная к окружности в точке C, OC - радиус в точку касания

Следовательно AM || OC

Значит ∠MAC = ∠ACO

AO = OC (как радиусы) ⇒ ΔACO - равнобедренный ⇒ ∠CAO = ∠ACO

Значит ∠MAC = ∠CAO

∠MCA = 90 - a

∠DCA = 90 - a (∠CDA = 90° т.к D - проекция C на AB)

Следовательно ∠MCA = ∠DCA

Откуда следует, что ΔMAC = ΔDAC по стороне и двум углам (AC - общая)

А значит AM = AD

2) Аналогично доказывается BD = BN (см. Рисунок 2)

3) См. Рисунок 3.

∠ACB = 90° т.к опирается на диаметр

В ΔABC: ∠CAB = 90° - ∠CBD

В ΔCBD: ∠DCB = 90° - ∠CBD

Следовательно ∠CAB = ∠DCB

Откуда следует, что ΔABC подобен ΔCBD по двум углам.

Значит $\frac{AD}{CD} = \frac{CD}{BD}$ ⇒ $CD^{2} = AD * BD$

Из пунктов 1 и 2:

AM = AD

BD = BN

Следовательно

$CD^{2} = AM * BN$

Доказано

============        

Не забывайте нажать " ", поставить оценку и, если ответ удовлетворил, то выберите его как "Лучший"  

Бодрого настроения и добра!    

Успехов в учебе!