Question

Даны две линейные функции f(x) и g(x). График функции f(x) проходит через точки A(1;−1) и B(−4;4).

График функции g(x) проходит через точки C(2;7) и D(−2;−1).

Задайте формулами эти функции и найдите координаты точки пересечения их графиков.

В ответе укажите точные координаты точки пересечения в виде целого числа или обыкновенной дроби (приближенное значение не засчитывается).

( ). Функция f(x) задана формулой f(x)=kx+l. В ответ введите сначала значение коэффициента k, затем значение коэффициента l.

Answer 1

Любая линейная функция выражается формулой y = kx + b. Подставим известные нам значения x и y из точек в эту формулу и составим систему:

$\left \{ {-1k + b = 1} \atop {-4k + b = 4} \right.$

Вычтем из второго уравнения первое и найдём k:

$(-4k + b) - (-1k + b) = - 4k + b + 1k - b = -3k$

$-3k = 3\\k = -1$

Подставим найденный k в любое уравнение линейной функции из системы, чтобы найти b:

$- 4 * (-1) + b = 4\\4 + b = 4\\b = 0$

Таким образом, уравнение первой линейной функции f (x) выглядит как y = -1x + 0, или, упрощая, y = - x.

Повторим те же действия с точками функции g (x). Составляем систему:

$\left \{ {{2k + b = 7} \atop {-2k + b = -1}} \right.$

На этот раз проще будет сначала найти b, так как это можно сделать сложением двух уравнений:

$2k + b + (-2k + b) = 2k + b - 2k + b = 2b$

$2b = 6\\b = 3$

Подставляем в уравнение из системы:

$2k + 3 = 7\\2k = 4\\k = 2$

Таким образом, уравнение второй линейной функции g (x) выглядит как y = 2x + 3.

Чтобы найти точку пересечения графиков линейных функций, необходимо приравнять их формулы друг к другу, чтобы найти общую абсциссу. Получаем:

$- x = 2x + 3\\- 3x = 3\\x = - 1$

Найдём значение ординаты y в точке пересечения по любой из формул:

$y = -x\\y = - (-1)\\y = 1$

Таким образом, графики функций f (x) и g (x) пересекаются в точке (- 1; 1).