Question

Трапейсия и окружность, вписанная как то не так

Answer 1

2

Объяснение:

Найдем сначала x. Пусть окружность касается AB и BC в точках K и L соответственно. Тогда BK=BL=x. Аналогично CL=x. Тогда BC=2x => x=1. Радиус, проведенный в точку касания, перпендикулярен к касательной. Тогда, если O - центр окружности, OK=OL=R и OK⊥AB, а OL⊥BC. Значит ∠KBL+∠KOL=180°. Тогда по теореме косинусов для четырехугольника KBLO можно выразить KL² двумя через OK=OL=R и BK=BL=1. Приравняем KL². Получим: $r^2+r^2+2r^2cosa=1^2+1^2-2cosa,\;=\;r^2+r^2cosa=1-cosa$. Здесь cosa - косинус ∠KBL. $cosa=cos(90+\beta)=-sin\beta$, где $\beta$ - угол ABH. AB=10x=10, а AH=(14-2)/2=6 => $-sin\beta=-\dfrac{3}{5}$. Подставим это: $r^2-r^2\times\dfrac{3}{5}=1+\dfrac{3}{5},\;=\;r=2$.

Задание выполнено!