Question

У кубі АА1ВВ1СС1ДД1 точка М лежить на ребрі АА1, причому АМ:МА1 = 3:1, а точка N - середина ребра ВС. Знайти косинус кута між прямими: 1.MN і ДД1 2. MN і ВД 3. MN і В1Д 4. MN і А1С

Answer 1

В кубе АА1ВВ1СС1ДД1 точка М лежит на ребре АА1, причем АМ:МА1 = 3:1, а точка N - середина ребра ВС. Найти косинус угла между прямыми: 1.MN и ДД1 2. MN и ВД 3. MN и В1Д 4. MN и А1С

Объяснение:

Введем прямоугольную систему координат.Пусть ребро куба 1.

Тогда координаты точек :

М(1 ;0;0,75) , N(0,5 ;1;0) , Д(0;0;0)   ,Д₁(0;0; 1)  , В(1;1;0)  , В₁(1;1;1)  , А₁(1;0;1)  , С(0;1;0) .

Найдем координаты векторов

MN(-0,5 ;1; -0,75) , |MN|=√((-0,5)²+1²+(-0,75)²)=0,25√29 ;

ДД₁(0 ;0; 1) , |ДД₁|=√(0²+0²+1²)=1 ;

ВД (-1 ;-1; 0) , |MN|=√((-1)²+(-1)²+0 ²)=√2 ;

В₁Д (-1 ;-1; -1)  , |MN|=√3 ;

А₁С(-1 ; 1; -1)  , |MN|=√3 ;

Если а(х₁;у₁;z₁) b(х₁;у₁;z₁)  )  , то  cosα=$\frac{x_{1}*x_{2} +y_{1}*y_{2} +z_{1}*z_{2} }{|a|*|b|}$  .

1)  cos(MN ;ДД₁)=$\frac{-0,5*0+1*0-0,75*1}{0,25\sqrt{29}*1 } =-\frac{3}{\sqrt{29} }$  ,

2) cos(MN ;ВД)=$\frac{-0,5*(-1)+1*(-1)-0,75*1}{0,25\sqrt{29}*\sqrt{2} } =-\frac{-5}{\sqrt{58} }$  ,

3)cos(MN ;В₁Д)=$\frac{-0,5*(-1)+1*(-1)-0,75*(-1)}{0,25\sqrt{29}*\sqrt{3} } =\frac{9}{\sqrt{87} }$  ,

4)cos(MN ;А₁С)=$\frac{-0,5*(-1)+1*1-0,75*(-1)}{0,25\sqrt{29}*\sqrt{3} } =\frac{9}{\sqrt{87} }$  ,