Пусть АВС - равнобедренный треугольник с основанием АС. ВН = 9 см - высота. тогда ВА=ВС-боковые стороны. Теперь пусть ВА=ВС-=х см. Тогда АС = 54-2х см. Высота ВН равнобедренного ∆АВС также является медианой и биссектрисой. Поэтому АН=НС=(54-2х)/2 = 27 - х см. По теореме Пифагора в прямоугольном ∆ВНC ВС² = ВН² + НС² х² = 9² + (27- х)² х² = 81 + 729- 54х + х² 54х=810 х=810/54=15 Теперь АС = 54-2*15=24 см S ∆ = ½ ВН·АС=½·24·9= 108см²
Ромб АВСД, АВ=ВС=СД=АД=8, радиус=2*корень3, проводим перпендикуляры в точки касания ОН на АД и ОМ на АВ, ОН в квадрате=АН*НД - (это уравнение получается из отношения сторон подобных треугольников, треугольник АОН подобен треугольнику НОД как прямоугольные по равным острым углам - угол АОН=90-1/углаА=90-30=60, уголНДО)=1/2 углаД=(180-60)/2=60, тогда АН/ОН=ОН/НД или ОН в квадрате=АН*НД), НД=х, АН=8-х, 12=(8-х)*х, х в квадрате-8х+12=0, х=(8+-корень(64-4*12))/2=8+-4/2, х1=2=НД, х2=6=АН, АН=АМ-как касательные проведенные из одной точки=6, треугольник АМН равнобедренный, но уголА=60, а уголАМН=уголАНМ=(180-60)/2=60, треугольник равносторониий, МН=АН=АМ=6
Проведем ЕК параллелльно АД. Углы ВЕС и ЕСК равны как накрестлежащие при параллельных ВЕ и СК Рассмотрим прямоугольные треугольники ВЕС и ДМС. Они подобны, т.к. если в одном прямоугольном треугольнике один из острых углов равен острому углу другого, то эти треугольники подобны Следовательно, углы ВСЕ и МДС равны. Опустим из Е перпендикуляр ЕН на АС, и проведем НТ параллельно ЕМ. Получился прямоугольник МЕНТ В прямоугольнике ВСКЕ углы ВСЕ и СЕК равны как накрестлежащие при параллельных ВЕ и СК. В прямоугольнике ЕМТН НМ и ЕТ - диагонали. Они равны и точкой пересечения О делятся пополам. Следовательно, треугольник ЕМО равнобедренный, и угол МЕТ равен углу ЕМН. А так как угол СЕК и МЕТ - один и тот же, угол ЕМА равен углу ВСЕ и равен углу СДМ. Каждый из этих равных углов дополняет углы при МД до прямого. Следовательно, углы АМД и АДМ равны, и треугольник АМД - равнобедренный.
тогда ВА=ВС-боковые стороны.
Теперь пусть ВА=ВС-=х см. Тогда АС = 54-2х см.
Высота ВН равнобедренного ∆АВС также является медианой и биссектрисой. Поэтому АН=НС=(54-2х)/2 = 27 - х см.
По теореме Пифагора в прямоугольном ∆ВНC
ВС² = ВН² + НС²
х² = 9² + (27- х)²
х² = 81 + 729- 54х + х²
54х=810
х=810/54=15
Теперь АС = 54-2*15=24 см
S ∆ = ½ ВН·АС=½·24·9= 108см²