Пусть A' – середина дуги BC. Так как OA' || IA2, прямые OI и A'A2 пересекаются в точке K – центре гомотетии описанной и вписанной окружностей (см. рис.). Докажем, что K – искомый радикальный центр.
Первый Так как инверсия с центром A' и радиусом A'B меняет местами прямую BC и описанную окружность Ω треугольника ABC, точка A1 переходит в A, а A2 – в точку A'' пересечения прямой A'A2 с описанной окружностью. Следовательно, точки A, A1, A2 и A'' лежат на одной окружности.
Степень точки K относительно описанной окружности треугольника AA1A2 равна – KA2·KA'' = – r/R AA'·KA'' = r/R s(K), где s(K) – степень точки K относительно Ω.
Очевидно, степени точки K относительно описанных окружностей треугольников BB1B2 и CC1C2 будут такими же, то есть K – радикальный центр трёх окружностей.
Второй Пусть A', B', C' – середины дуг BC, CA, AB. Тогда треугольник A'B'C' переводится в A2B2C2 гомотетией с коэффициентом r/R и центром K, то есть KA2 : A'A2 = KB2 : B'B2 = KC2 : C'C2 = k : 1. Для точек прямой A'A2 разность степеней относительно описанной окружности треугольника AA1A2 и вписанной окружности треугольника ABC является линейной функцией. В точке A2 эта функция равна нулю,
а в точке A' – r², поскольку A'A1·A'A = A'B² = A'I² (первое равенсто следует из подобия треугольников A'A1B и A'BA, а второе – из леммы о трезубце – см. задачу 53119). Значит, в точке K эта разность равна – kr². Другие аналогичные разности в точке K также равны – kr², откуда и следует требуемое
1) 1м.
2) 21 кв. ед.
3) 34.25 кв. ед.
Объяснение:
Дано. Стороны грядки, имеющей форму прямоугольника, равны 2,5 м и 0,4м.
Найти периметр грядки, равновеликой данной и имеющей форму квадрата.
Решение.
Равновеликие прямоугольник и квадрат у которых равные площади.
Найдем площадь прямоугольника
S=ab = 2.5 * 0.4 = 1 м².
S квадрата = S прямоугольника
S квадрата =a²; a²=1;
a=±1; (-1 - не соответствует условию.)
а=1 м.
Равновеликим прямоугольнику со сторонами 2,5 м и 0,4 м является квадрат со стороной 1 м.
***
2) Дано. ABCD - трапеция. AB=6; BC=4; AD=10; угол A=30*.
Найти площадь.
Решение.
Проведем высоту ВЕ. Получили треугольник АВЕ, в котором угол А=30* АВ=6 - гипотенуза. АЕ и ВЕ - катеты, а ВЕ=h - еще и высота трапеции.
BE =h = AB* sin 30*=6*1/2=3.
Площадь S=h(a+b)/2 = 3*(10+4)/2=3*14/2=21 кв. ед.
***
3) Дано. Δ ACD, у которого ∠А=30°; ∠ACB=60°; внешний угол D = 135°; BC=5 - высота. Найти площадь.
Решение.
В Δ BCD внутренний угол В = 180°-135° = 45°. Следовательно Δ BCD - равнобедренный ВС=BD = 5.
Из Δ АВС АВ = ВС/ tg30° = 5/0.577 = 8,7.
AD = 8,7 + 5=13,7.
Площадь S=1/2*AD*BC = 1/2* 13.7*5 = 34.25 кв. ед.
б
Объяснение:
так как я хз я не математик и физрук