Решётка состоит из ячеек, разделённых прутьями, образующих при пересечении узлы. Площадь прямоугольника обозначает количество ячеек внутри прямоугольника. Обозначим количество ячеек, примыкающих к сторонам прямоугольника как х и у. Количество узлов, на одной из сторон будет равно х+1, а на другой у+1. Однако угловые узлы у них общие. Тогда количество узлов у противоположных сторон прямоугольника со стороной х будет 2(х+1), а у пары сторон со стороной у будет 2((у+1)-2)=2(у-1). Посчитаем сумму узлов по периметру: g=2(х+1)+2(у-1)=2(х+у).
Оставшиеся узлы решётки находятся внутри прямоугольника. Их сумма: u=(х-1)·(у-1).
Допустим боковые стороны равны а. Воспользуемся основной формулой площади треугольника: Площадь равна произведению стороны и проведенной к ней высоты деленное на два. Для первой высоты и боковой стороны формула будет выглядеть так: Для второй высоты и стороны так: отсюда следует, что и высоты h₁, h₂ равны
.Дан АВС (АВ=ВС) углы А и С равны (свойство р/б), высоты АН и СМ, рассмотрим образованные треугольники АНС и СМА - углы А и С равны , углы АНС и СМА прямые , АС общая сторона - треугольники равны по второму признаку (по стороне и двум прилежащим к ней углам) В равных треугольниках соответствующие стороны равны отсюда следует,что АН и СМ равны
Площадь прямоугольника обозначает количество ячеек внутри прямоугольника.
Обозначим количество ячеек, примыкающих к сторонам прямоугольника как х и у.
Количество узлов, на одной из сторон будет равно х+1, а на другой у+1. Однако угловые узлы у них общие. Тогда количество узлов у противоположных сторон прямоугольника со стороной х будет 2(х+1), а у пары сторон со стороной у будет 2((у+1)-2)=2(у-1).
Посчитаем сумму узлов по периметру: g=2(х+1)+2(у-1)=2(х+у).
Оставшиеся узлы решётки находятся внутри прямоугольника. Их сумма: u=(х-1)·(у-1).
Площадь прямоугольника:S=х·у.
Докажем равенство.
S=u+g/2-1=(х-1)(у-1)+2(х+у)/2-1=х·у-х-у+1+х+y-1=х·у.
Доказано.