Объяснение:
Пусть высота CD и медиана CM делят угол C треугольника ABC на три равные части. Предположим, что точка D расположена между B и M. Обозначим ∠BCD = ∠DCM = ∠ACM = α. Поскольку в треугольнике BCM высота CD является биссектрисой, то этот треугольник равнобедренный, поэтому CD – медиана треугольника BCM и BD = DM.
Биссектриса CM треугольника ACD делит сторону AD на отрезки, пропорциональные сторонам AC и CD, то есть
CD : AC = DM : AM = DM : BM = ½.
Значит, ∠CAD = 30°. Следовательно, 2α = ∠ACD = 90° – ∠CAD = 60°, α = 30°.
По условию KL = KC + LC
Отрезки касательных проведенные из одной и той же точки к одной и той же окружности равны.
Тогда
KC = KA
LC = LB
Следовательно KL = KC + LC = KA + LB
Подставим это в первое равенство
Периметр треугольника KLM = MK + ML + KL =
= MK + ML + KA + LB =
= MK + KA + ML + LB
Очевидно что
MK + KA = MA
ML + LB = MB
Тогда
Периметр треугольника KLM = MK + ML + KL = MA + MB
Последнее выражение (MA + MB ) не зависит от С
Следовательно периметр треугольника KLM не зависит от выбора точки С
что и требовалось доказать.