які с правильних тверджень є правильними навколо довільного ромба завжди можна вписати коло, навколо довільної трапеції завжди можна вписати коло, навколо довільного прямокутника завжди можна вписати коло
Примем длину ребра за 1. Высота ОD тетраэдра равна √(2/3). Основание высоты - точка О. Для нахождения угла между скрещивающимися прямыми надо одну из прямых параллельно переместить до образования угла в одной плоскости. Отрезок DM находится на апофеме боковой грани.Обозначим её основание буквой Е Из этой точки проводим отрезок ЕР параллельно АК, По длине ЕР равен 2/3 АК (свойство медиан правильного треугольника). В плоскости основания получаем треугольник РОЕ, который является проекцией искомого угла. В этом треугольнике известны две стороны РЕ и ЕО и угол между ними, равный 120°. Сторона РЕ равна 2/3 от АК. Высота АК в равностороннем треугольнике равна √3/2, поэтому РЕ = (2*√3) / (3*2) = √3/3, а ЕО = (1/3) АК = (1*√3) / (3*2) = √3/6. Сторону РО находим по теореме косинусов: РО = √(РЕ²+ОЕ²-2РE*ОЕ*cos E) = √((√3/3)²+(√3/6)²-2*(√3/3)*(√3/6)*(-1/2)) = √21/6. Теперь переходим к треугольнику РОD для нахождения неизвестной стороны PD = √(РО²+ОD²) = √((√21/6)²+(√(2/3))²) = √5/2. Апофема DЕ равна АК, поэтому в треугольнике PDE известны 3 стороны, искомый угол PED находим по теореме косинусов: cos PED = (PE²+ED²-PD²) / (2*PE*ED) = ((3/9)²+(3/4)²-(5/4)) / (2*(√3/3)*(√3/2) = -1/6. Такому косинусу соответствует угол 1.738244 радиан или 99.59407°.
Рассмотрим треугольники ВОЕ и DOC. Они подобны по первому признаку подобия: два угла одного треуг-ка соответственно равны двум углам другого: - углы ВОЕ и DOC равны как вертикальные; - углы ОВЕ и ODC равны, т.к. диагональ BD делит углы квадрата пополам. Для подобных треугольников можно записать отношение сходственных сторон: ВЕ : DC = BO : DO = 1 : 2, отсюда DO=2*BO Рассмотрим треугольники DHF и ВНС. Они также подобны по первому признаку подобия: - углы DHF и ВНС равны как вертикальные; - углы HDF и HBC равны, т.к. диагональ BD делит углы квадрата пополам. Для подобных треугольников можно записать отношение сходственных сторон: FD : CB = DH : BH = 1 : 2, отсюда ВН=2*DH Мы вывели, что DO=2*BO и ВН=2*DH. Диагональ BD можно представить так: BD=BO+DO=BO+2*BO=3ВО или так: BD=BH+DH=2*DH+DH=3DH Тогда 3BO=3DH, BO=DH Отрезок ВН можно представить так: ВН=BO+OH. Зная, что BO=DH и ВН=2*DH, получаем: 2*DH=DH+OH, отсюда OH=DH BO=DH, OH=DH, значит BO=DH=OH.
Высота ОD тетраэдра равна √(2/3). Основание высоты - точка О.
Для нахождения угла между скрещивающимися прямыми надо одну из прямых параллельно переместить до образования угла в одной плоскости.
Отрезок DM находится на апофеме боковой грани.Обозначим её основание буквой Е
Из этой точки проводим отрезок ЕР параллельно АК, По длине ЕР равен 2/3 АК (свойство медиан правильного треугольника).
В плоскости основания получаем треугольник РОЕ, который является проекцией искомого угла.
В этом треугольнике известны две стороны РЕ и ЕО и угол между ними, равный 120°. Сторона РЕ равна 2/3 от АК.
Высота АК в равностороннем треугольнике равна √3/2, поэтому РЕ = (2*√3) / (3*2) = √3/3, а ЕО = (1/3) АК = (1*√3) / (3*2) = √3/6.
Сторону РО находим по теореме косинусов: РО = √(РЕ²+ОЕ²-2РE*ОЕ*cos E) = √((√3/3)²+(√3/6)²-2*(√3/3)*(√3/6)*(-1/2)) =
√21/6.
Теперь переходим к треугольнику РОD для нахождения неизвестной стороны PD = √(РО²+ОD²) = √((√21/6)²+(√(2/3))²) = √5/2.
Апофема DЕ равна АК, поэтому в треугольнике PDE известны 3 стороны, искомый угол PED находим по теореме косинусов:
cos PED = (PE²+ED²-PD²) / (2*PE*ED) = ((3/9)²+(3/4)²-(5/4)) / (2*(√3/3)*(√3/2) = -1/6.
Такому косинусу соответствует угол 1.738244 радиан или 99.59407°.