В правильной треугольной призме ABCA1B1C1 площадь боковой поверхности в 12 раз больше площади основания. Найдите угол наклона прямой BC1 к плоскости основания. ответ дайте в градусах.
Объяснение: S(бок)=12S(осн)
Т.к призма правильная , то СС₁⊥( АВС) и АВ=ВС=АС .
Углом наклона между прямой BC₁ к плоскости основания является угол между прямой и ее проекцией⇒∠С₁ВС.
Пусть сторона основания а , боковое ребро h. Тогда S(бок)=Р(осн)*СС₁=3аh , S(осн)= 
3аh =12* ⇒ h=a√3 .
ΔСВС₁- прямоугольный, tg(∠CBC₁)= 
, tg(∠CBC₁)= 
, tg(∠CBC₁)=√3 , tg(∠CBC₁)=60°.
2) Точки А (4;2; -1), C (-4;2; 1), D (7; -3; 4) вершины параллелограмма АВСD.
Вектор АВ равен DС.
Находим DC= (-4-7; 2-(-3); 1-4) = (-11; 5; -3).
Отсюда находим координаты точки B.
x(B) = x(A) - 11 = 4 - 11 = -7,
y(B) = y(A) + 5 = 2 + 5 = 7,
z(B) = z(A) - 3 = -1 - 3 = -4.
ответ: B(-7; 7; -4).
4) Примем координаты точки A, принадлежащей оси абсцисс и равноудалённой от точек B(1; 2; 2) и C(-2; 1; 4), равными: A;(x; 0; 0)).
Из равенства расстояний AB и AC составим уравнение:
(1 - x)² + 2² + 2² = (-2 - x)² +1² + 4².
1 - 2x+ x² + 4 + 4 = 4 + 4x + x² + 1 + 16.
6x = -12. x = -12/6 = -2.
ответ: точка A((-2; 0; 0).