Я решу задачу,переделав её условие: Высота правильной четырёхугольной пирамиды=4.Боковое ребро образует с плоскостью основания угол 45 градусов.Найти объём пирамиды.
Пусть SABCD -правильная пирамида.Квадрат-основание правильной пирамиды. SO⊥(ABCD) , SO=4. Cоединим точки А и С. ∠SAO=45°. Найдём из Δ ASO катет АО :tg∠ASO=SO/AO ⇒ AO=SO·tg45°=4·1=4/ AO=4 AO=1/2 АС ⇒ АС=2·АО = 2·4=8 Диагональ квадрата АВСD =8. Из Δ АСD по т. Пифагора АС²=AD²+DC². ПУСТь AD=DC=x Тогда 8²=2х² ⇒ х√2=8 ⇒х=8/√2 =4·√2 S(осн)=х²=(4·√2)²=16·2=32 V=1/3·S(осн)·H =1 /3· 32 ·4=128/3
Задача элементарная, но мне захотелось написать "совершенно" формальное решение. Пусть центр квадрата P, середина (это так надо перевести слово "серебро" в контексте задачи :)) BC - M. Ясно, что центр окружности лежит на прямой, параллельной BC и AD и проходящей через середину MP - точку K. Пусть эта прямая пересекает AB в точке N. Поскольку окружность симметрична относительно KN, то PK и AN - это половины хорд, перпендикулярных линии KN, проходящей через центр. Ясно, что AN = 3a/4; PK = a/4; NK = a/2; где a - сторона квадрата. Расстояние до хорды связано с радиусом и половиной длины хорды теоремой Пифагора. Разность расстояний от центра до ПОЛУхорд AN и PK равна NK; Если обозначить радиус окружности R, то √(R^2 - (a/4)^2) - √(R^2 - (3a/4)^2) = a/2; пусть 4R/a = x; тогда √(x^2 - 1) = √(x^2 - 9) + 2; x^2 - 1 = x^2 - 9 + 4√(x^2 - 9) + 4; x^2 - 9 = 1; x = √10; ну, и 4/a = 2; R = √10/2;
Разумеется, это простое упражнение на координатный метод. По сути надо найти окружность, проходящую через точки (0,1) (0,-1) и (-2,-3) для квадрата со стороной 4; Центр в точке (b,0) b^2 + 1 = R^2; (b + 2)^2 + 3^2 = R^2; b = -3; R = √10; это результат для квадрата со стороной a =4; то есть при a = 2; R = √10/2;
Пусть трапеция АВСD и ее диагонали пересекаются в точке О. Если трапеция является равнобедренной, то прямая, которая проходит через середины оснований, перпендикулярна основаниям и длины диагоналей равны(свойство). Тогда прямоугольные треугольники АОD и ВОС (прямые углы АОD и ВОС - дано) равнобедренные и углы прилежащие к гипотенузам равны 45°. Следовательно, высоты этих треугольников ОН=АD/2, а ОР=ВС/2. Сумма этих высот равна высоте трапеции h. Площадь трапеции равна: S=(AD+BC)*h/2. AD+BC=36 (дано). Подставим в формулу площади значение h=OH+ОP=(1/2)(AD+BC) и получим:S=(AD+BC)*(AD+BC)/4 или 36*36/4=324.
Пусть SABCD -правильная пирамида.Квадрат-основание правильной пирамиды.
SO⊥(ABCD) , SO=4. Cоединим точки А и С. ∠SAO=45°. Найдём из Δ ASO катет АО :tg∠ASO=SO/AO ⇒
AO=SO·tg45°=4·1=4/ AO=4
AO=1/2 АС ⇒ АС=2·АО = 2·4=8 Диагональ квадрата АВСD =8.
Из Δ АСD по т. Пифагора АС²=AD²+DC². ПУСТь AD=DC=x
Тогда 8²=2х² ⇒ х√2=8 ⇒х=8/√2 =4·√2
S(осн)=х²=(4·√2)²=16·2=32
V=1/3·S(осн)·H =1 /3· 32 ·4=128/3