Пусть одна сторона квадрата АВСD будет х. Тогда периметр будет равен: 4*х=8, отсюда, х = 2. Пусть КD = y, на рисунке отмечено, что у равны также и AP, BM, CN. Между собой равны и ND, MC, BP, AK. Это следует из того, что нам дан квадрат. Теперь ND/KD=tg30=1/√3. Отсюда ND=KD/√3. А KD+ND=2. Решаем систему из этих 2-х уравнений:
ND*√3+ND=2
ND=2/(√3+1)=2*(√3-1)/(3-1)=√3-1.
Так как сторона ND лежит против угла в 30 градусов, она равна половине гипотенузы. Значит KN=ND*2=2(√3-1). Все маленькие треугольники равны друг другу по двум сторонам и углу между ними. Значит нам фигура внутри - квадрат. И его периметр: 4*2(√3-1)=8(√3-1)
Площадь прямоугольника равна произведению его сторон
Док-во:
Пусть у прямоугольника длины сторон а и b. Достроим его до квадрата со стороной a+b. Т. е. его площадь (квадрата) равна (a+b)^2. С другой стороны эта площадь равна сумме квадрата со стороной а, квадрата со сторой b и двух прямоугольников со сторонами а и b (которую мы и доказаываем). Обозначим ее S и приравняем площадь квадрате со стороной a+b к сумме площадей "маленьких прямоугольников и квадратов".
(a+b)^2=S+S+a^2+b^2
a^2+b^2+2ab=a^2+b^2+2S
2ab=2S
S=ab. Доказано