Дано: ΔABC - равнобедренный, АВ=ВС, Sabc= 192 см², АС=АВ+4, окружность, впис. в ΔАВС, OR - радиус, OR= 6 см
Найти: АВ, ВС, АС.
Решение.
Пусть АВ=ВС= х см. По условию основание на 4 см больше, чем боковая сторона, значит, АС= х+4.
Площадь треугольника равна произведению полупериметра треугольника на радиус вписанной окружности.
S= p•r, где S - площадь треугольника, p - его полупериметр, r - радиус вписанной окружности.
Находим периметр ΔАВС.
Р= АВ+ВС+АС= х+х+х+4= 3х+4.
Полупериметр равен соответственно р= (3х+4)/2.
S= p•r;
192= (3x+4)/2 •6;
192= (3х+4)•3;
192= 9х+12;
9х= 192–12;
9х= 180;
х= 20 (см)
Значит, АВ=ВС= 20 см, АС= х+4= 20+4= 24 см.
ответ: 20 см, 20 см, 24 см.
Рисунок фактически здесь вообще не нужен, однако, если Вам так легче это представить...
Рисунок во вложении.
В трапеции угол АСД - вписанный и равен половине центрального угла АОД, равен 108:2=54°
Угол ВСА равен углу САД как накрестлежащий. Но угол САД равен углу ВАС по условию задачи. Во вписанной трапеции сумма противоположных углов равна 180 градусов.
угол АСД+ ВСА - противоложный углу ВАД.
Угол ВАД =ВАС+САД
угол ВСД=ВСА+АСД
Но угол ВСА равен ВАС.
Отсюда сумма углов ВАД и ВСД=3 угла ВАС+ угол АСД
3 ВАС+54=180°
ВАС=(180-54):3=42°
Треугольник ВАС - равнобедренный, так как углы ВАС=САД
Угол АВС=180-2*42=96°