Question

Знайдіть кут А трикутника АВС, якщо:
1) A (1; 1; 3), В (5; 3; 3), C (1; 7; 3); ​

Answer 1

<A≈63°

Объяснение:

сначала вычислим длины сторон АВ, ВС, АС по формуле:

АВ²=(Ах–Вх)²+(Ау–Ву)²+(Аz–Bz)²=

=(1–5)²+(1–3)²+(3–3)²=(–4)²+(–2)²=16+4=20; АВ=√20=,2√5см

По такой же формуле вычислим остальные стороны:

ВС²=(5–1)²+(3–7)²+(3–3)²=4²+(–4)²+0=16+16=32;

ВС=√32=4√2см

АС²=(1–1)²+(1–7)²+(3–3)²=(–6)²=36; АС=√36=6см

ИТАК: АВ=2√5см, ВС=4√2 см, АС=6см

Теперь найдём <А используя теорему косинусов:

$\cos( \alpha ) = \frac{ab {}^{2} + ac {}^{2} - bc {}^{2} }{2 \times ab \times ac} = \frac{(2 \sqrt{5}) {}^{2} + 6 {}^{2} - (4 \sqrt{2}) {}^{2} }{2 \times 2 \sqrt{5} \times 6} = \frac{20 + 36 - 32}{24 \sqrt{5} } = \frac{24}{24 \sqrt{5} } = = \frac{1}{ \sqrt{5} }$

cos 1/√5≈0,45≈63°