Question

Точка М - середина гипотенузы АВ прямоугольного треугольника АВС, угол В которого равен 30° . А на его катете ВС выбирают точку К, такую, что АК + КМ = ВС. Докажите, что МК перпендикулярно АВ. ​

Answer 1

Для доказательства того, что МК перпендикулярно АВ, мы должны использовать свойства прямоугольного треугольника и информацию, данную в условии задачи.

Дано:
- Треугольник АВС, где АВ - гипотенуза, угол В равен 30°.
- Точка М - середина гипотенузы АВ.
- Точка К на катете ВС, такая что АК + КМ = ВС.

Доказательство:

Шаг 1: Найдем длину сторон треугольника АВС.
Используя свойства прямоугольного треугольника, имеем:
AB = AC * √3
(так как угол В равен 30°, и тангенс 30° = 1/√3 = AC/AB)
Также, мы знаем, что М - середина гипотенузы, поэтому MB = MA = 0.5AB.

Шаг 2: Рассмотрим выражение АК + КМ = ВС.
Заметим, что АК + КМ = AK + MB, потому что М - середина гипотенузы АВ.
Из этого следует, что АК + КМ = КА + AM + 0.5AB = AM + MA + AB.
Объединяя AM и MA, мы получаем AM + MA + AB = AB + AB = 2AB.

Шаг 3: Докажем, что МК перпендикулярно АВ.
Для этого рассмотрим треугольник AMК.
У нас есть:
AM = MA (по определению точки М как середины отрезка АВ)
AK + КМ = 2AB (из выражения АК + КМ = ВС)
AB = AB (тривиально)

Таким образом, треугольник AMК является равнобедренным треугольником со сторонами AM, AK и КМ, в котором AM = MA и AK + КМ = 2AB.
По свойству равнобедренного треугольника углы МАК и МКА равны, следовательно, МК перпендикулярно АВ.

Таким образом, мы доказали, что МК перпендикулярно АВ.