Question

8. В параллелограмме ABCD точки Ки L расположены соответственно на сторонах AD и CD, отрезки КI и BD пересекаются в точке М. Выразите от-
ношение BM : MD через отношения AK : KD = a и CL: LD = b, где a и b – заданные положительные числа.​

Answer 1

Добрый день! Давайте рассмотрим задачу о параллелограмме ABCD и точках K и L на его сторонах AD и CD соответственно. Пусть отрезок КI пересекает отрезок BD в точке М.

Поскольку AD || BC (это свойство параллелограмма), мы можем использовать подобие треугольников AKB и CKD. Выразим отношение длин сторон этих треугольников:

AK : KD = AK : (AD - AK) = AK : AD - AK
CL : LD = CL : (CD - CL) = CL : CD - CL

Согласно заданию, дано, что AK : KD = a и CL : LD = b. Подставим эти значения:

a = AK : AD - AK
b = CL : CD - CL

Заметим, что DK = AD - AK (поскольку DK = AD - AK = KD + AK - AK = KD) и DL = CD - CL (аналогично DK = CD - CL).

Теперь мы можем выразить AK и CL через DK и DL:

AK = (AD - DK)
CL = (CD - DL)

Подставим эти значения в формулы для a и b:

a = (AD - DK) : AD - (AD - DK)
b = (CD - DL) : CD - (CD - DL)

Раскроем скобки:

a = (AD - DK) : AD - AD + DK : AD
b = (CD - DL) : CD - CD + DL : CD

Упростим:

a = DK : AD
b = DL : CD

Теперь возвращаемся к исходному вопросу. Мы должны выразить отношение BM : MD через a и b:

Отношение длин отрезков BM и MD равно отношению площадей треугольников ABM и AMD. Но поскольку треугольники ABM и AMD подобны, отношение площадей равно квадрату отношения сторон:

BM : MD = (AB : AD)^2 = (AK + KB : AD)^2

Заменим AK на DK/a и KB на BM - DK:

BM : MD = ((DK/a + (BM - DK)) : AD)^2

Раскроем скобки:

BM : MD = ((DK + a * (BM - DK)) : (a * AD))^2

Упростим:

BM : MD = ((a * BM - (a-1) * DK) : (a * AD))^2

Мы получили выражение для отношения BM : MD через заданные числа a и b. Надеюсь, это решение понятно для вас! Если остались ещё вопросы, буду рад ответить на них.