НА ПОУЧИ, НЕУЧ!
Определение. Вектора, параллельные одной прямой или лежащие на одной прямой называют коллинеарными векторами (рис. 1).
Коллинеарные вектора
рис. 1
Условия коллинеарности векторов
Два вектора будут коллинеарны при выполнении любого из этих условий:
Условие коллинеарности векторов 1. Два вектора a и b коллинеарны, если существует число n такое, что
a = n · b
Условия коллинеарности векторов 2. Два вектора коллинеарны, если отношения их координат равны.
N.B. Условие 2 неприменимо, если один из компонентов вектора равен нулю.
Условия коллинеарности векторов 3. Два вектора коллинеарны, если их векторное произведение равно нулевому вектору.
N.B. Условие 3 применимо только для трехмерных (пространственных) задач.
Доказательство третего условия коллинеарности
Пусть есть два коллинеарные вектора a = {ax; ay; az} и b = {nax; nay; naz}. Найдем их векторное произведение
a × b =
i j k
ax ay az
bx by bz
= i (aybz - azby) - j (axbz - azbx) + k (axby - aybx) =
= i (aynaz - aznay) - j (axnaz - aznax) + k (axnay - aynax) = 0i + 0j + 0k = 0
Примеры задач на коллинеарность векторов
Примеры задач на коллинеарность векторов на плоскости
Пример 1. Какие из векторов a = {1; 2}, b = {4; 8}, c = {5; 9} коллинеарны?
Решение: Так как вектора не содержат компоненты равные нулю, то воспользуемся вторым условием коллинеарности, которое в случае плоской задачи для векторов a и b примет вид:
ax = ay .
bx by
Значит:
Вектора a и b коллинеарны т.к. 1 = 2 .
4 8
Вектора a и с не коллинеарны т.к. 1 ≠ 2 .
5 9
Вектора с и b не коллинеарны т.к. 5 ≠ 9 .
4 8
Пример 2. Доказать что вектора a = {0; 3} и b = {0; 6} коллинеарны.
Решение: Так как вектора содержат компоненты равные нулю, то воспользуемся первым условием коллинеарности, найдем существует ли такое число n при котором:
b = na.
Для этого найдем ненулевой компонент вектора a в данном случае это ay. Если вектора колинеарны то
n = by = 6 = 2
ay 3
Найдем значение na:
na = {2 · 0; 2 · 3} = {0; 6}
Так как b = na, то вектора a и b коллинеарны.
Пример 3. найти значение параметра n при котором вектора a = {3; 2} и b = {9; n} коллинеарны.
Решение: Так как вектора не содержат компоненты равные нулю, то воспользуемся вторым условием коллинеарности
ax = ay .
bx by
Значит:
3 = 2 .
9 n
Решим это уравнение:
n = 2 · 9 = 6
3
ответ: вектора a и b коллинеарны при n = 6.
Примеры задач на коллинеарность векторов в пространстве
Пример 4. Какие из векторов a = {1; 2; 3}, b = {4; 8; 12}, c = {5; 10; 12} коллинеарны?
Решение: Так как вектора не содержат компоненты равные нулю, то воспользуемся вторым условием коллинеарности, которое в случае пространственной задачи для векторов a и b примет вид:
ax = ay = az .
bx by bz
Значит:
Вектора a и b коллинеарны т.к. 1 4 = 2 8 = 3 12
Вектора a и с не коллинеарны т.к. 1 5 = 2 10 ≠ 3 12
Вектора с и b не коллинеарны т.к. 5 4 = 10 8 ≠ 12 12
Пример 5. Доказать что вектора a = {0; 3; 1} и b = {0; 6; 2} коллинеарны.
Решение: Так как вектора содержат компоненты равные нулю, то воспользуемся первым условием коллинеарности, найдем существует ли такое число n при котором:
b = na.
Для этого найдем ненулевой компонент вектора a в данном случае это ay. Если вектора колинеарны то
n = by = 6 = 2
ay 3
Найдем значение na:
na = {2 · 0; 2 · 3; 2 · 1} = {0; 6; 2}
Так как b = na, то вектора a и b коллинеарны.
Пример 6. найти значение параметров n и m при которых вектора a = {3; 2; m} и b = {9; n; 12} коллинеарны.
Решение: Так как вектора не содержат компоненты равные нулю, то воспользуемся вторым условием коллинеарности
ax = ay = az .
bx by bz
Значит:
3 = 2 = m
9 n 12
Из этого соотношения получим два уравнения:
3 = 2
9 n
3 = m
9 12
Решим эти уравнения:
n = 2 · 9 = 6
3
m = 3 · 12 = 4
9
ответ: вектора a и b коллинеарны при n = 6 и m = 4.
ответ:
өтілетін күні: пәні: сыныбы: 11
тақырыбы: §3. пирамида.
пирамиданың анықтамасы және жалпы қасиеттері. қиық пирамида.
пирамида бетінің ауданы және пирамиданың көлемі.
мақсаты:
білімділік: пирамиданың анықтамасымен таныстыру және дұрыс пирамида, пирамиданың апофемасы, қиық пирамида, қиық пирамиданың биіктігі, дұрыс қиық пирамида ұғымдарын енгізіп, түсінік беру; пирамиданың бетінің ауданы мен көлемін енгізу..
қ: қ ойлау қабілеттерін .
тәрбиелік: оқушыларды есептер шығару барысында ұқыптылыққа, еңбектенуге тәрбиелеу.
сабақтың түрі: жаңа білімді түсіндіру.
әдісі: түсіндірмелі иллюстрациялы.
көрнекілігі: оқулық,.
сабақ барысы:
і. ұйымдастыру кезеңі
іі . топтық жұмыс: (топ мүшелері оқулықпен жұмыс жасап жаңа тақырыпты ашады, топ ішінен бір оқушы басқа топтарға түсіндіріп шығады )
і топ: пирамида ұғымы және оның элементтері
іі топ: қиық пирамида және оның элементтері
ііі топ: пирамида жазбасы. пирамида бетінің ауданы
іv. пирамиданың көлемі
ііі. «кім » (топпен тарихи есептер шығару)
і топқа: хеопс пирамидасының табаны –қабырғасы 230 м-ге тең квадрат, ал бүйір қыры мен табанының арасындағы бұрышының тангенсі 1,2. ең биік египеттік пирамидасының биіктігін табыңдар.
шешуі: 1. ac ç вd = о
2. дұрыс пирамида þ sо ^ (авс)
3. ое çç аd þ ое ^ аd þ
4. sе ^ сd (3 перпендикуляр туралы теорема)
тікбұрышты үшбұрыштың бұрышының тангенсі неге
тең? (қарсы жатқан катетінің
іргелес жатқан катетіне қатынасы)
5. d sое – е\ш tg e = sо : ое = 1,2
6. ое = 0,5аd =115м
230 d 7. sо = ое • tg e = 1,2 • 115 = 138 м
жауабы: 13
іі топқа: хеопс пирамидасының табаны –қабырғасы 230 м-ге тең квадрат, ал биіктігі 138м. ең биік египеттік пирамидасының бүйір қырын табыңдар.
шешуі: 1. ac ç вd = о
2. d аоd – е\ш
пифагор т-сы б-ша аd2 = dо2+оа2
2оd2= 2302 = 52900
оd2 = 26450
3. дұрыс пирамида þ sо ^ (авс)
4. d sоd – п\у
пифагор т-сы ds2 = dо2+оs2 = 26450 + 1382=
= 26450 +19044 = 45494
ds » 213 м
жауабы: 213м
ііі топқа: хеопс пирамидасының бүйір бетінің ауданын табыңдар, егер табанының қабырғасы 230 м-ге, ал биіктігі 138 м-ге тең болса.
шешуі:
1. sб.б=4sтр
2. ac ç вd = о
3. дұрыс пирамида þ sо ^ (авс)
4. ое çç сd þ ое ^ аd þ
5. sе ^ аd (3 перпендикуляр туралы теорема)
6. еоs- е\ш пифагор т б-ша еs2 = ео2+оs2 = 1152 + 1382 =
= 13225 +19044 = 32269
еs 180
7. es - высота аsd
sаsd = 0,5 еs•аd 0,5 •180 • 230 20700 м2
8. sб.б=4sтр 4 • 20700 82800 м2
жауабы: 82800 м2
іv топқа: дұрыс пирамиданың бүйір қыры биіктігінен 2 есе ұзын. бүйір қырының табанымен жасайтын бұрышты табыңыз.
іv. экспресс-тест (5 есеп- 10 мин)
1. пирамиданың табаны қабырғалары 18 және 10 см болатын тіктөртбұрыш. пирамиданың биіктігі 12 см-ге тең, ал оның табаны тіктөртбұрыштың диагональдарының қиылысу нүктесі.
а) пирамиданың бүйір бетінің ауданын табыңдар:
а) 420 м2 в) 384 м2 с) 402 м2 в) 394 м2
б) пирамиданың толық бетінің ауданын табыңдар:
а) 520 м2 в) 600 м2 с) 620 м2 в) 580 м2
2. пирамиданың табаны-қабырғасы 12 см-ге тең теңқабырғалы үшбұрыш. оның әрбір бүйір қыры табан жазықтығымен 450 бұрыш жасайды. пирамиданың биіктігін табыңдар.
а) 4 см в) 4√2 см с) 4√3 см в) √3 см
3. пирамиданың табаны –диагоналі 12 см-ге тең тіктөртбұрыш. пирамиданың әрбір қыры 10 см-ге тең. пирамиданың биіктігін табыңдар.
а) 8 см в) 10 см с) 9 см в) 7см
4. дұрыс төртбұрышты пирамида табанының қабырғасы 10 см. пирамиданың биіктігі 12 см-ге тең. апофемасын табыңдар.
а) 15 см в) 14 см с) 13 см в) 16см
v. оқулықпен жұмыс: №20 24 бет
№28 78 бет
№20
s шешуі: а)
1. sб.б = 1/2 рk
2. oe= ad: 2= 10: 2=5
3. k=se=√(〖12〗^2+5^2 )=13
4. p=4∙10=40
10 5. sб.б = 1/2 ∙40∙13 =260 м2
б) sт = sб.б + sтаб = 260+180 =360 м2
№24
дұрыс пирамиданың диагоналі 6 дм-ге тең квадрат және пирамиданың биіктігі 15 дм. осы пирамиданың көлемін табыңдар.
шешуі: v= 1/3 sтаб∙h х^2+х^2=36
x= 3√2
sтаб= x^2= 〖(3√(2))〗^2=9∙2=18
v= 1/3∙18∙15=90 дм3
vі. бағалау (кретириалды бағалау)
оқушының атаы-жөні топтық жұмыс кім экспресс-тест №20 №24 қорытынды
объяснение: