Пусть четыре внешних окружности одного радиуса с центрами в точках А,В,С и D касаются друг друга и окружности с центром в точке О.
Для двух касающихся внешним образом окружностей, прямая, соединяющая центры этих окружностей, перпендикулярна их общей касательной. Следовательно, четырехугольник АВСD является прямоугольником с равными (2R1) сторонами, то есть квадратом. Отрезок, соединяющий центр О с центром любой из четырех окружностей равен половине диагонали этого квадрата.
То есть ОВ = (1/2)*(2*R1)*√2= R1*√2. (1)
ОВ = R+R1 (2). Приравняем (1) и (2): R1*√2 = R+R1 =>
R1 = R/(√2 -1). Тогда площадь одного из внешних кругов равна
S = πR1² = πR²/(√2 -1)². Это ответ.
Если принять приближенное значение π ≈ 3,14, а √2 ≈ 1,41 то S ≈ 18,47*R² ед².
Сумма длин 2-х сторон прямоугольника равна половине периметра.
Пусть длина равна а, ширина b
Тогда сумму длин сторон можно записать
а+b=26:2=13
Выразим ширину b через длину а
b =13-а
Площадь прямоугольника = произведению его сторон и равна аb
аb =40
Подставим в это выражение значение b через а
а(13-а)=40
После несложных преобразований получим квадратное уравнение
а²-13а+40=0
Корни этого уравнения 8 и 5
а=8,- длина
b=13-8=5 - ширина
ответ: большая сторона прямоугольника равна 8