Соединим центры окружостей последовательно с А, В, С и D (cм. рисунок).
Получим 5 треугольников.
Поскольку АВ=ВС=СD, отрезки АВ и СD отсекают от окружностей равные дуги.
Потому центральные углы при них равны. Расстояния от центров окружности до прямой АD равны, как расстояние от центра до равных хорд.
=> АD и О₁О₂ параллельны. По свойству параллельных прямых все углы в полученных 5 треугольниках равны. Треугольники равносторонние.
Площадь равностороннего треугольника, выраженного через его сторону, равна
S=(а²√3):4.
Треугольников таких в данном четырехугольника 5, а сторона их равна радиусу.
Искомая площадь равна
S=(5R²√3):4
Самое простое и красивое доказательство, как ни странно, физическое, исользующее понятие центра тяжести. Вот оно - поместим в каждую вершину треугольника по одинаковой массе m.
Всё!
Потому что сразу понятно, что центр тяжести каждой стороны будет на её середине. А значит треугольник можно заменить медианой(отрезком), на одной вершине которого масса m, а на другой m+m = 2*m(сумма масс на концах стороны треугольника, к которому проведена медиана) Центр тяжести этого отрезка будет делить его в отношении 1:2, считая от вершины(конца, где масса m), это закон рычага или момента сил. Так как это рассуждение можно применить к любой медиане, значит любая медиана делится в отношении 1:2, а центр тяжести у любого тела(и у нашего треугольника в том числе) ОДИН, поэтому центры тяжести медиан совпадают, то есть они пересекаются в одной точке. Вот и всё. Мы всё доказали.
Этот метод часто позволяет решать и более сложные задачи, просто нужно придумать, какие массы и куда разместить, а дальше всё просто.
И ещё. Это ещё раз показывает, что нет ОТДЕЛЬНО физики, математики, химии и пр., Природой управляют единые законы, а разные науки рассматривают явления просто с разных сторон. Старайтесь всюду увидеть это единство и будет всё гораздо проще решать и понимать.