Дана правильная четырехугольная пирамида ABCDS с высотой SO. В основании квадрат.
Длина радиуса окружности, вписанной в основание пирамиды равна √3 см, следовательно длина стороны квадрата равна 2 корня из 3.
АО = 1/2 АС
АC^2 = AD^2 + CD^2
AC = корень из 24
АО = корень из 6
Рассмотрим треугольник AOS - прямоугольный.
Как я поняла, если угол равен пи/3, то он равен 60гр, следовательно угол ASO = 30 гр.
Катет, лежащий напротив угла в 30 гр, равен половине гипоетнузы.
AS = 2 корня из 6
SO^2 = AS^2 - AO^2
SO= 3 корня из 2
Vпир= 1/3 * Sосн * H
S = 2 корня из 3 * 2 корня из 3 = 12
V = (з корня из 2 * 12) / 3 = 12 корней из 2
Трапеция АВСД, ВС=16, АД=30, точка О ниже АД, соединяем вершины трапеции с центром О, ОА=ОВ=ОС=ОД=17, в треугольнике ВСО проводим высоту ОК , треугольник ВСО равнобедренный, ОВ=ОС=17, ОК - медиана, биссектриса, высота. ВК=СК = 16/2=8
треугольник ОВК прямоугольный, ОК=корень(Ов в квадрате - ВК в квадрате) =
=корень =(289-64)=15
Треугольник ОАД равнобедренный , точка Н - пересечение ОК с АД, высота ОД=медиане биссектрисе, АН=ДН=30/2=15
треугольник ОАН прямоугольный, ОН= корень (АО в квадрате - АН в квадрате)=
=корень(289-225) = 8
КН - высота трапеции = ОК-ОН=15-8=7
Пусть ABC и A1B1C1- основания призмы и AA1, BB1, CC1- высоты призмы (грани призмы)
Пусть AA1=x, тогда AC=312/x, AB=128/x и BC=200/x
По теореме Герона
Sabc=√(p*(p-AB)*(p-BC)*(p-AC),
где
p=(AB+BC+AC)/2=(312/x + 128/x +200/x)/2=320/x
тогда
Sabc=√(320/x *(320/x - 312/x)*(320/x-128/x)*(320/x-200/x))=480
√(320*8*192*120/x^4)=480
x^2=16 => x=4,
то есть высота равна 4