решение на листке
кликниш
Я немного поправлю предыдущего товарища :))) хотя в общем случае его решение правильное, но в условии все-таки сказано, что боковые стороны равны меньшему основанию, поэтому "предельным снизу" случаем является квадрат, то есть минимальное отношение оснований (отношние большего основания к меньшему, это у предыдущего товарища тоже опечатка) равно 1 (максимальное, само собой, равно 3, когда трапеция "вытягивается" в отрезок). Если отношение оснований меньше 1, то боковые стороны будут равны большему из оснований, а это противоречит условию :)))
На самом деле - это крохоборство :
Дана равноведренная трапеция АВСД. ВС - меньшее основание, АД - большее основание, АСи ВД - диагонали, пересекаются в т.О. АВ=ВС. Угол АВД=90градусов.
Найти углы трапеции.
угол АВД=углу АСД=90градусов (равенство углов следует из того, что трапеция равнобедренная)
Треугольник АВС равнобедренный, т.к. АВ=ВС. значит угол АВС=углу ВСА.
угол ВСА=углу САД, т.к. они накрест лежащие.
Угол САД=углу ВДА, т.к. треугольник АОД равнобедренный (АО=ОД по св-вам трапеции)
СД=ВС => треугольник ВСД равнобедренный => угол СВД=углу СДВ
Треугольник ВОС равнобедренный, т.к. ВО=ОС (по св-вам трапеции) => угол ДВС=углу ВСА.
Из всего выше сказанного следует, что
углы ВАС, САД, АДС, ВДС, ДВС и ВСА равны. Возьмем их за х.
(а углы АВД и АСД равны 90гр)
получаем ур-ие:
(90+х)+(х+х)+(х+х)+(90+х)=360 (в скобках обозначены отдельные углы)
6х+180=360
6х=180
х=30 градусов
Угол А=углу Д=30*2=60градусов
Угол В=углу С=90+30=120 градусов.
находите длину касательной ВС (я считаю С - точкой касания, это ни на что не влияет, поскольку её положение неизвестно)
х^2 = (2+1)*1; x = корень(3);
Теперь из 2 треугольников BCD и АВС совершенно одинаковым находим DC и АС - по теореме косинусов
DC^2 = 1^2 + 3 - 2*1*корень(3)*cos(30) = 1; DC = 1;
AC^2 = 3^2 + 3 - 2*3*корень(3)*cos(30) = 3; АС = корень(3);
Получился треугольник DAC со сторонами 1, корень(3), 2. Это - прямоугольный треугольник, и радиус описаной вокруг него окружности равен 1.
Тупое решение, но вполне годится :))
На самом деле, можно было уже на первом шаге догадаться - если BC = корень(3), то перпендикуляр из точки С к ВС пересечет АВ в середине отрезка BD- пусть это будет точка О, и получается СО = ОA = OD = 1, то есть О равноудалена от D, А и прямой ВС, что нам и нужно. Так-то вообще устная задача получилась. Но которым я вначале решил, годится при произвольных углах и отрезках.
Опаньки! Есть второе решение R = 7. Дело в том, что я при решении предполагал, что точка касания лежит таким образом, что луч АВ пересекается с препендикуляром из точки касания. Но точка касания может лежать с другой стороны точки В, хотя и на том же расстоянии от В, равном корень(3). Пусть это точка М. В этом случае центр О находится как пересечение перпендикуляра к АВ в середине AD (пусть это точка К) и перпендикуляра к ВС в точке М. Они пересекутся в точке О, и угол МОК = 30 градусам. Проложим ОК до пересечения с ВС (пусть это Е), и легко найдем ВЕ = 2/cos(30) = (4/3)*корень(3); поэтому МЕ = (7/3)*корень(3), и MO = R = (7/3)*корень(3)*ctg(30) = 7.
Да уж, торопиться не надо :