Если две прямые на плоскости пересечены секущей, то для их параллельности необходимо и достаточно, чтобы накрест лежащие углы были равны, или соответственные углы были равны, или сумма односторонних углов равнялась 180°.
1) BC || AD
∠BCA = ∠CAD — накрест лежащие
2) a || b
накрест лежащие углы равны, сумма односторонних равна 180°
3) m || n
m и n ⊥ k — они уже являются параллельными, но, к дополнению, равны и соответственные углы и сумма односторонних 180°, т.к. все углы по 90°.
4) MN || KP
∠NOM = ∠KOP как вертикальные ⇒ ΔMNO равен ΔPKO по первому признаку равенства треугольников (две стороны и угол между ними)
Пары углов (∠N = ∠K) и (∠M = ∠P) — как накрест лежащие
5) SR || PT
SR и PT ⊥ SP — они уже являются параллельными, но, к дополнению, ∠S = ∠P = 90°, ∠SMR = ∠PMR как вертикальные ⇒ ΔSRM равен ΔPTM по второму признаку равенства треугольников (сторона и два прилегающих угла) .
∠R = ∠T — как накрест лежащие
6) d || e
равны соответствующие углы (по 40° и 140°), и сумма односторонних равна 180° (140+40).
7) RS || MQ, RM || SQ
отрезок MS — общий для ΔSRM и ΔMQS. Данные треугольники равны по первому признаку равенства треугольников:
∠RSM = ∠QMS — как накрест лежащие при RS || MQ
∠RMS = ∠QSM — как накрест лежащие при RM || SQ
8) m || n
равны соответствующие углы (по 36° и 144°), и сумма односторонних равна 180° (144+36).
9) a || b
равны накрест лежащие углы (по свойству биссектрисы угла и равнобедренного треугольника)
10) PQ || MN, PM || QN
отрезок PN — общий для ΔPQN и ΔNMP. Данные треугольники равны по первому признаку равенства треугольников:
∠QPN = ∠MNP — как накрест лежащие при PQ || MN
∠QNP = ∠MPN — как накрест лежащие при PM || QN
11) BA || DC
∠BEA = ∠CED как вертикальные ⇒ ΔBEA равен ΔCED по первому признаку равенства треугольников (две стороны и угол между ними)
Пары углов (∠EDC = ∠EAB) и (∠EBA = ∠ECD) — как накрест лежащие
12) m || n
равны накрест лежащие углы (по свойству биссектрисы угла и равнобедренного треугольника)
13) MS || FQ
MS — биссектриса ∠NMQ. Угол ∠NMQ — внешний для вершины M равнобедренного треугольника MFQ. Внешний угол треугольника равен сумме двух углов треугольника, не смежных с ним ⇒ ∠MFQ = ∠MQF = ∠NMS = ∠SMQ.
∠SMQ = ∠MQF — как накрест лежащие
14) BC || AD, BA || CD
Пары углов (∠BOA = ∠DOC) и (∠BOC = ∠DOA) как вертикальные ⇒ ΔBOA равен ΔDOC и ΔBOC = ΔDOA по первому признаку равенства треугольников.
∠OBC = ∠ODA и ∠OCB = ∠OAD — как накрест лежащие при BC || AD
∠OBA = ∠ODC и ∠OAB = ∠OCD — как накрест лежащие при BA || CD
13
Объяснение:
DC⊥(ABC), ∠ABC=150°, CB=10, CD=12
DC⊥(ABC), BC∈(ABC)⇒DC⊥BC
Опустим из точки С перпендикуляр на прямую АВ. Очевидно, то что основание этого перпендикуляра Е будет принадлежать не отрезку АВ , а его продолжению за точку В. Это из-за того что ∠ABC=150°-тупой.
∠СВЕ=180°-∠ABC=180°-150°=30°, ∠СЕВ=90°⇒СЕ=0,5ВС=0,5·10=5
∠DСЕ=90°⇒DЕ²=СЕ²+DС²=5²+12²=169⇒DЕ=13
DC⊥(ABC), Е∈(ABC)⇒отрезок СЕ- орт.проекция отрезка DЕ
CЕ⊥АB⇒DЕ⊥АВ⇒DЕ-отрезок определяющий расстояние от точки D до прямой АВ.
Достоверность требуемого построения доказана по ходу решения задачи.
Пусть меньшее основание равно 5х, тогда большее основание равно 8х. среднняя линия трапеции равна полусумме оснований. По условию задачи составляем уравнение:
(5х+8х):2=39;
13х=2*39;
х=2*3;
х=6
Большее основание равно 8*6=48
ответ: 48