Ну, раз такие задачи тут мелькают, придется сказать пару ласковых слов.
1. Уж не ждите, что в подобных задачах я стану "разжевывать" решение.
2. Всю теорию, которую я буду использовать, я буду считать априори известной автору такой задачи. Поэтому не ждите от меня краткого изложения учебника геометрии.
3. Все "спорные" моменты выносите на обсуждение, только если другого выхода нет. Попытки задать вопрос вроде "а почему 2х2?" будут жестоко высмеяны и оставлены без ответа.
4. Жаловаться не надо - сами виноваты, надо было разобраться.
"Решение", которого нет...
Пусть стороны, имеющие с биссектрисой l общую вершину - a и c, а сторона, которую нужно найти - b.
Сразу видно, что
b/(a + c) = 2/3;
Поэтому сторона b делится биссектрисой на два отрезка (2/3)*а и (2/3)*с;
Если предположить, что треугольник равнобедренный, то найти стороны не составляет труда.
с = а = 6*корень(5); b = (2/3)*(а + c) = 8*корень(5);
Теперь проведем через точку О (пересечение биссектрис) и концы основания этого равнобедренного треугольника окружность.
Легко видеть, что это - окружность Апполония для биссектрисы l при отношении 2/3; (: обожаю этот момент :
Параметры этой окружности таковы - радиус R = 12, центр расположен на прямой, содержащей биссектрису, на расстоянии 8 от пересечения со стороной b, за ней, конечно, то есть на расстоянии 12 от точки О и 18 от "начала" биссектрисы.
Поэтому в задаче нет однозначного решения, а полученный результат для равнобедренного треугольника b = 8*корень(5) является минимальным решением задачи. Максимальное решение получается при угле при вершине, равном нулю, при этом b равно диаметру окружности Апполония, то есть 24.
Любой треугольник, концы строны b которого лежат на построенной окружности, а хорда b проходит через конец биссектрисы, соответствует условию задачи.
Это всё :
Чертим два равных отрезка АВ и СД (для ясности :А- слева внизу, С- слева вверху, Д- справа внизу, В- справа вверху) По условию они равны, и делятся пополам точкой пересечения О. Значит все эти половинки равны между собой (АО=ОВ=СО= ОД) .По усл. АО=АД, значит АО=ОД=АД, т. е., тр-к АОД - равносторонний, и все его углы равны между собой и равны по 60 гр. (ещё надо отметить, что по условию АД дан. Пусть АД= "а".Это некое известное число . Задание а) - готово? Да.
б) Рассмотрим два образовавшихся тр-ка АОД и СОВ . Они равны, т. к. две стороны АО=ОВ и СО=ОД и углы между ними СОВ и АОД вертикальные, а значит равны между собой. Если тр-ки равны, то равны соответствующие углы. В данном случае тр-к СОБ тоже равносторонний. и его все углы= 60град. Т. е. отрезок АВ пересекает две прямые :СВ и АД, угол СВО=углу ДАО и являются внутренними накрест лежащими. Значит, по свойствам параллельности прямых, АД параллельна ВС.
в) теперь проводим Медиану ОМ в треугольнике АОД, т. к. т. М - середина АД ( по условию). В правильном треугольнике АОД медиана ОМ является и биссектрисой. Поэтому угол ДОМ = 30град. Надо сравнить ОМ и ОС. Но ОС=ОД. МД=а/2; Отношение противолежащего катета к гипотенузе -это sin угла. МД/СО или МД/ДО, как sin 30град. = 1/2;
г) проводим биссектрисы из углов ВСО и ДАО они пересекутся в некоторой т. Е. Соединим т. А с т. С. Получился тр-к АСЕ; , у которого надо найти угол АЕС. Сначала рассм. тр-к АОС Он равнобедренный (АО = ОС). Угол АОС= 180-60=120 гр. Значит сумма двух остальных углов, находящихся при основании равнобедренного тр-ка равна 180-120=60. Но углы при основании равнобедренного трка равны между собой .АСО= САО=60/2=30 град. Теперь, вспоминаем, что биссектриса в тр-ке делит угол пополам. Угол ОСЕ= ВСЕ=30 гр. Тоже самое и угол ОАЕ=ДАЕ=30гр. Но угол АСЕ=АСО+ОСЕ=30+30=60гр. Угол САЕ=60гр. тоже. Ну и искомый угол АЕС равен 180-60-60=60гр.
д) продлим МО до пересечения с СВ и поставим т. Н. В правильном треугольнике медиана является не только биссектрисой, но и высотой. Но треугольники АОД и СОВ равны между собой, значит равны и их высоты ОМ и ОН. А значит точка О является серединой отрезка МН. ВСЁ!)
уголАОВ=углуДОС как вертикальные
уголСАВ=углуАСД т.к. накрест лежащие при АВ II СД и секущей АС
угол АВД=углуВДС т.к. накрест лежащие при АВ II СД и секущей ВД
Следовательно, треугольники АОВ и СОД подобны (все углы соответственно равны), следовательно АО:ОС=ВО:ОД.
ВО:ОД=АВ:СД
9:15=АВ:25
АВ=9*25:15=15 см.