Question

В параллелограмме ABCD диагонали пересекаются в точке О, точка М лежит на стороне BD, причём ВМ = МО, АВ = m, АС = n. Выразите вектор ВМ через векторы m и n.

Answer 1

Для решения этой задачи, мы можем воспользоваться свойствами параллелограмма и векторной алгебры.

Свойства параллелограмма говорят нам, что диагонали параллелограмма делят друг друга пополам. То есть, ОМ = ½BD.

Также, мы можем использовать свойство разложения вектора на два компонента. Если мы имеем вектор B и хотим выразить его через векторы m и n, мы можем разложить его на два компонента - параллельный m и перпендикулярный m.

Вектор B можно представить как сумму двух векторов - вектора ВМ и вектора МО. Вектор МО - это вектор АО минус вектор АМ. То есть, МО = АО - АМ.

Теперь, мы можем выразить вектор ВМ через векторы m и n.

Вектор МО = АО - АМ

Так как АМ = ВМ (по условию), мы можем заменить АМ на ВМ.

Вектор МО = АО - ВМ

Далее, воспользуемся свойством разложения вектора на два компонента.

Вектор ВМ = вектор МО + вектор АМ

Вектор ВМ = (вектор АО - вектор АМ) + вектор АМ

Вектор ВМ = вектор АО + (-1) * вектор АМ + вектор АМ

Вектор ВМ = вектор АО + 0 * вектор АМ

Вектор ВМ = вектор АО

То есть, вектор ВМ равен вектору АО.

И если АВ = m и АС = n, то вектор АО = вектор АВ + вектор ВМ + вектор МС.

Вектор ВМ = вектор АО = вектор АВ + м + вектор МС.

Таким образом, мы выразили вектор ВМ через векторы m и n.