Question

В прямоугольной системе координат треугольник SPQ задается координатами своих
вершин S (-2; 1),

Р (2; 4), Q (6; 1). Напишите уравнение окружности, вписанной в треугольник

​

Answer 1

Чтобы найти уравнение окружности, вписанной в треугольник, нам нужно найти координаты ее центра и радиус.

1. Найдем координаты центра окружности. Один из способов это сделать - найти точку пересечения биссектрис треугольника.

a) Найдем середину отрезка SP:
xSP = (xS + xP) / 2 = (-2 + 2) / 2 = 0 / 2 = 0
ySP = (yS + yP) / 2 = (1 + 4) / 2 = 5 / 2 = 2.5
Таким образом, середина отрезка SP имеет координаты (0, 2.5).

b) Проведем биссектрису от точки Q до стороны SP. Биссектриса - это прямая, которая делит угол на две равные части.

Для этого нам понадобятся координаты векторов QS и QP:
xQS = xS - xQ = -2 - 6 = -8
yQS = yS - yQ = 1 - 1 = 0
xQP = xP - xQ = 2 - 6 = -4
yQP = yP - yQ = 4 - 1 = 3

Теперь найдем угол между векторами QS и QP, используя формулу скалярного произведения:
cos(α) = (QS • QP) / (|QS| ⋅ |QP|)
где QS • QP - скалярное произведение векторов QS и QP,
|QS| и |QP| - длины векторов QS и QP.

Заменим значениями:
cos(α) = (xQS ⋅ xQP + yQS ⋅ yQP) / (√(xQS^2 + yQS^2) ⋅ √(xQP^2 + yQP^2))
cos(α) = ((-8) ⋅ (-4) + 0 ⋅ 3) / (√((-8)^2 + 0^2) ⋅ √((-4)^2 + 3^2))
cos(α) = (32 + 0) / (√64 ⋅ √25)
cos(α) = 32 / (8 ⋅ 5)
cos(α) = 32 / 40
cos(α) = 4 / 5

Так как треугольник SPQ - прямоугольный, угол α равен половине угла между сторонами SP и SQ. Найдем этот угол:

sin(α/2) = √((1 - cos(α)) / 2)
sin(α/2) = √((1 - 4/5) / 2)
sin(α/2) = √(1/5 / 2)
sin(α/2) = √(1/10)
sin(α/2) = 1 / √10

Теперь найдем длину биссектрисы, то есть расстояние от точки Q до середины отрезка SP:
|QB| = |QP| ⋅ (sin(α/2) / (1 + sin(α/2)))
|QB| = √((-4)^2 + 3^2) ⋅ (1 / √10 / (1 + 1 / √10))
|QB| = √(16 + 9) ⋅ (1 / √10 / (1 + 1 / √10))
|QB| = √25 ⋅ (√10 / 10 / (1 + 1 / √10))
|QB| = 5 ⋅ (√10 / 10 / (1 + 1 / √10))
|QB| = (√10 / 2) / (1 + 1 / √10)

Таким образом, радиус окружности равен |OT| = |QB| = (√10 / 2) / (1 + 1 / √10).

2. Теперь, зная координаты центра окружности и ее радиус, мы можем записать уравнение окружности:

(x - xT)^2 + (y - yT)^2 = r^2
где (xT, yT) - координаты центра окружности, r - радиус.

Подставим значения:
(x - 0)^2 + (y - 2.5)^2 = ((√10 / 2) / (1 + 1 / √10))^2
x^2 + (y - 2.5)^2 = (√10 / 2)^2 / (1 + 1 / √10)^2
x^2 + (y - 2.5)^2 = 10 / 4 / (1 + 2 / √10 + 1 / 10)
x^2 + (y - 2.5)^2 = 10 / (4 + 8 / √10 + 1)
x^2 + (y - 2.5)^2 = 10 / (5 + 8 / √10)
x^2 + (y - 2.5)^2 = 2/(1 + 8/5√10)
(x^2 + (y - 2.5)^2)(1 + 8/5√10) = 2

Таким образом, уравнение искомой окружности будет:
(x^2 + (y - 2.5)^2)(1 + 8/5√10) = 2.