Окружность касается сторон AB и AD прямоугольника ABCD и пересекает DC в единственной точке F, а BC-в точке E.
Найти площадь AFCB, если AB=32, AD=40 и BE=1
————
АBCD- прямоугольник. ⇒
AFCB - прямоугольная трапеция. Площадь трапеции равна произведению полусуммы оснований на высоту.
S=0,5•(FC+AB)•BC
СF следует найти.
Проведем радиусы ОК и ОТ к АВ и АД соответственно.
АК=ОК=ОТ=ТА=R
Опустим из Е перпендикуляр ЕН на радиус ОК
КН=ВЕ=1⇒ НО=R-1
ЕН=ВК=АВ-R=32-R
По т.Пифагора из ∆ ОЕН
R²=(32-R)²+(R-1)²⇒
R²-66 R+1024=0 Решив квадратное уравнение, получим два корня:
R1=41; R2=25
Первый не подходит, т.к. больше, чем АВ, и будет касаться не АВ, а её продолжения.
R=ОЕ=25
Проведем ОМ перпендикулярно СD.
Основание СF=CM+MF
CM=BK=AB-R=7
MF=√(OF²-OM²)
OM=AD-R=40-25=15
MF=√(25²-15²)=20
CF=20+7=27
S=0,5•(27+32)•40=1180 ( ед. площади)
из вершины D опустим высоту DH на сторону BC. Точку пересечения диагоналей ромба обзовём К.
т.к в ромбе диагонали пересекаются под прямым углом и точкой пересечения делятся пополам, то СК = AC/2 = 16/2 = 8, BK =KD = BD/2 = 12/2 = 6
из прямоугольного треугольника BKC гипотенуза BC = sqrt(BK^2 + KC^2) = sqrt(8^2 + 6^2) = 10
площадь треугольника BCD, вычесленная как половина произведения стороны на высоту, опущенную на эту сторону
с одной стороны равна 1/2 * BD * CK
с другой стороны 1/2 BC * DH
отсюда DH = BD * CK / BC = 12 * 8 / 10 = 9.6
DH является расстоянием между прямыми MD и BC т.к перепендикулярен обеим прямым. Отсюда угол между BMC и BDC равен арктангенсу MD/DH = arctg(9.6 / 9.6) = 45 градусов
плоскость ABC и BDC - это одно и то же, т.к все точки ромба лежат в одной плоскости. Поэтому искомый угол равен 45 градусам