а) Для доказательства нужно найти сторону А1С1 и проверить треугольник на соответствие т.Пифагора.
Призма прямая, ⇒все её ребра перпендикулярны основаниям.
• Из ∆ АА1В по т.Пифагора
АА1=√(A1B²-AB²)=√56
BB1=CC1=√56
• Из ∆ С1СВ по т.Пифагора
ВС=√(BC1²-CC1*)=√(81-56)=√25=²
• Стороны ∆ АВС из троек .Пифагора с отношением 5:12:13 ⇒ можно обойтись без вычислений. АС=12 ( проверьте по т.Пифагора)
А1С1=АС=12
А1В²-С1В²=225-81=144 Получаем А1С1=12, к тому же отношение сторон ВС1:А1С1:А1В=3:4:5 - отношение сторон прямоугольного (египетского) треугольника. Доказано.
–––––––––––––––––––––––––––––
б)Формула объёма пирамиды
V=S•h:3
Площадь основания АВА1 равна половине площади большей боковой грани призмы АВВ1А1 (диагональ грани делит её пополам).
S=AA1•AB:2=√56•13=2√14•13:2=√14•13
Высотой пирамиды является перпендикуляр из вершины С1 опущенный на плоскость основания.
Перпендикуляр из вершины С1 на плоскость АВВ1А1, содержащую плоскость основания пирамиды, лежит в плоскости верхнего основания призмы А1С1В1.
С1Н=А1С1•sin∠A1.
sin∠A1=C1B1:A1B1=5/13
C1H=12•5/13=60/13
------
На втором рисунке приложения призма для большей наглядности "уложена" на большую грань, содержащую основание пирамиды.
AB - гипотенуза
BC = 8 см - катет
AC - катет
По условию
AB = BC + AC - 4
AB = 8 + AC - 4
AB = AC + 4
По теореме Пифагора:
AB² = BC² + AC²
AB² = 8² + AC²
AB² = AC² + 64
(AC + 4)² = AC² + 64
AC² + 8AC + 16 = AC² + 64
8AC = 64 - 16
8AC = 48
AC = 6 (cм)
Тогда AB = 6 + 4 = 10 (cм)
Получаем прямоугольный треугольник со сторонами 6, 8 и 10.
∠C = 90°
∠A можно определить по синусу угла, т.е. по отношению противолежащего катета BC к гипотенузе AB
sin(A) = BC/AB
sin(A) = 8/10 = 0,8
По таблице Брадиса находим, что данной величине приблизительно соответствует угол 53°7' ≈ 53°
Сумма углов треугольника равна 180° ⇒ ∠B = 180 - 90 - 53 = 37 (°)
∠A является большим из острых углов треугольника ABC.
∠A = 53°
P.S. такой треугольник называется египетским или золотым