Действительно: CB₁/AB₁=BC/BA =14/15 (свойство биссектрисы BB₁ в ΔABC) ⇒ CB₁=14k ,AB₁ =15k ,CA=CB₁+AB₁ =29k ⇒ CB₁/CA =14/29. --- аналогично : A₁P/PA=BA₁/BA =7/15 (свойство биссектрисы BP в ΔABA₁) ⇒A₁P=7m, PA =15m , A₁A=A₁P+PA) =22m ⇒ A₁P/A₁A =7/22.
Таким образом получили: S(A₁PB₁C) =S*14/29 -(S/2)*(7/22). Площадь треугольника вычисляем по формуле Герона : S =√p(p-a)(p-b)(p-c) =√21(21-14)(21-15)(21-13) =√21*7*6*8 = √(7*7*3*3*2*2*4) =7*3*4 =84.
р=(15+14+13)/2=21
S(Δ АВС)=√21·(21-15)·(21-14)·(21-13)=84 см
S(ΔABA₁)=S(ΔACA₁)
В этих треугольниках основания A₁В=СA₁, а высота общая.
S(ΔACA₁)=42 см
Биссектриса ВВ₁ делит сторону АС в отношении 15:14
пропорционально прилежащим сторонам треугольника
АВ₁ =15 АС/29
Биссектриса ВР делит сторону АА₁ треугольника АВА₁ в отношении 15:7
AP=15AA₁ /22
S(ΔAPB₁ )=AP·AB₁ ·sin ∠A₁ AC/2=
=(15 ·AA₁ /22)·(15AC/29)·sin ∠A₁ AC/2=
=(225/638)·(AA·AC·sin ∠A₁ AC/2)=(225/638)·42
S(четырехугольника PA₁CB₁)=S(ΔAA₁C)-A(ΔAPB₁)=42-(225/638)·42=
=42·(1-(225/638))=413·42/638≈27,2