1 Рассмотрим треугольник AOC и треугольник BOD: Угол AOC = BOD (как вертикальные) AO=OB и CO=OD (по условию,т.к. точка является O - посередине) значит, треугольник AOC = равен треугольнику BOD (по двум сторонам и углу между ними) значит угол DAO = равен углу CBO(в равных треугольниках против равных сторон лежат равные углы)
2 Рассмотрим треугольник ABD и треугольник ADC: по условию, угол BDA = углу ADC сторона AD - общая и по условию угол BAD = углу DAC (т.к. AD - биссектриса) Значит, треугольник ABD = треугольнику ADC(по двум углам и стороне между ними) значит сторона AB=AC(т.к. в равных треугольниках против равных углов лежат равны стороны)
Основанием прямого параллелепипеда ABCDA₁B₁C₁D₁ является параллелограмм ABCD, стороны которого равны а и 2а, острый угол равен 45°. Высота параллелепипеда равна меньшей высоте параллелограмма. Найдите: а) меньшую высоту параллелограмма; б) угол между плоскостью АВС₁ и плоскостью основания; в) площадь боковой поверхности параллелепипеда; г) площадь поверхности параллелепипеда. -------- Пусть в параллелограмме ABCD, стороны которого равны а и 2а, сторона АВ=СD=а и ВС=АD=2а 1) меньшая высота параллелограмма идет из вершины тупого угла D к большей стороне ВС и отрезает от него равнобедренный прямоугольный треугольник с катетами DН=СН=СD*sin(45°)=(а√2):2=а/√2 Найдя меньшую высоту основания, мы нашли высоту параллелепипеда, равную ей по условию. СС₁=DН=а/√2
2) Угол между плоскостью АВС1 и плоскостью основания: . Проведем из С1 перпендикуляр к продолжению АВ и точку пересечения обозначим Е. По теореме о 3-х перпендикулярах С₁Е ⊥ АЕ. Угол СЕC₁ - искомый. Так как тупой угол параллелограмма ABCD равен 180°-45°=135°, ∠ СВЕ=45° ( еще и потому, что эти углы накрестлежащие при пересечении параллельных СD и ВА секущей СВ). Отсюда СЕ=ВЕ=СВ*sin(45°)=2а*(√2):2=а√2 tg ∠CЕC₁=СС₁:СЕ=а/√2):(а√2)=1/2 ∠ СЕC₁=arctg 1/2 ,
3) Площадь боковой поверхности параллелепипеда равна произведению его высоты на периметр основания. Sбок=2*(а+2а)*СС1=6а*а/√2=3а²√2
4) Площадь поверхности параллелепипеда равна сумме площади боковой поверхности и удвоенной площади основания ( т.к. оснований два).
Удвоенная площадь основания 2S осн=2*BC*СD*sin(45°) =2*2a*а*(√2):2=4a²(√2):2= 2a²√2 Sполн=3а²√2+2a²√2=5а²√2 --- [email protected]
Рассмотрим треугольник AOC и треугольник BOD:
Угол AOC = BOD (как вертикальные)
AO=OB и CO=OD (по условию,т.к. точка является O - посередине)
значит, треугольник AOC = равен треугольнику BOD (по двум сторонам и углу между ними)
значит угол DAO = равен углу CBO(в равных треугольниках против равных сторон лежат равные углы)
2
Рассмотрим треугольник ABD и треугольник ADC:
по условию, угол BDA = углу ADC
сторона AD - общая и по условию угол BAD = углу DAC (т.к. AD - биссектриса)
Значит, треугольник ABD = треугольнику ADC(по двум углам и стороне между ними)
значит сторона AB=AC(т.к. в равных треугольниках против равных углов лежат равны стороны)