Question

равнобедренные треугольники ABC и DBC имеют общее основание ВС. вершины А и D находятся по разным сторонам от ВС. отрезки AD и ВС пересекаются в точке О. докажите, что АD перпендикулярно ВС​

Answer 1

Для того чтобы доказать, что AD перпендикулярно ВС, мы должны показать, что угол AOD равен 90 градусам. Давайте разберёмся пошагово:

Шаг 1: Рассмотрим равнобедренные треугольники ABC и DBC. В равнобедренных треугольниках углы при основании равны. Поэтому угол A = угол B и угол D = угол C.

Шаг 2: Так как угол A = угол B, а угол D = угол C, то могут быть два случая:

- Случай 1: Угол A больше угла D.
В таком случае, угол A больше 90 градусов, так как угол D = угол C, и равнобедренный треугольник DBC имеет угол D меньше 90 градусов.

- Случай 2: Угол D больше угла A.
В таком случае, угол D больше 90 градусов, так как угол A = угол B, и равнобедренный треугольник ABC имеет угол A меньше 90 градусов.

Рассмотрим первый случай:

Шаг 3: Если угол A больше 90 градусов, то по теореме о сумме углов треугольника угол B больше 90 градусов, так как угол A = угол B.
- Если угол B больше 90 градусов, то равнобедренный треугольник ABC не является треугольником, так как сумма углов треугольника должна быть равна 180 градусам. Это означает, что данный случай невозможен.

Шаг 4: Рассмотрим второй случай:

- Если угол D больше 90 градусов, то по теореме о сумме углов треугольника угол C больше 90 градусов, так как угол D = угол C.
- Комбинируя угол D > 90 градусов и угол C > 90 градусов, мы получаем, что сумма углов одного треугольника больше 180 градусов. Это также означает, что данный случай невозможен.

Таким образом, мы показали, что оба случая приводят к невозможности, что угол A больше 90 градусов или угол D больше 90 градусов. Это означает, что угол A и угол D должны быть меньше 90 градусов.

Шаг 5: Итак, мы имеем два угла A и D меньше 90 градусов.
- Сумма двух углов одного треугольника равна 180 градусам. Итак, угол B равен (180 - угол A). И угол C равен (180 - угол D).
- Если мы заметим, то сумма углов B и C равна (180 - угол A) + (180 - угол D) = 360 - (угол A + угол D).
- Но поскольку угол A и угол D меньше 90 градусов, то их сумма (угол A + угол D) будет меньше 180 градусов.
- Это значит, что сумма углов B и C больше 180 градусов.
- В равнобедренных треугольниках сумма углов не может быть больше 180 градусов. Поэтому этот случай также невозможен.

В итоге, мы показали, что оба случая приводят к невозможности, что угол A больше 90 градусов или угол D больше 90 градусов.

Это означает, что угол A и угол D должны быть меньше 90 градусов. А если углы A и D меньше 90 градусов, то сумма их равна меньше 180 градусов.

Итак, мы можем сделать вывод, что угол A и угол D суммируются до менее 180 градусов.

А теперь мы можем окончательно доказать, что AD перпендикулярно BC:

Если сумма углов A и D меньше 180 градусов, то угол AOD равен 180 градусов минус (угол A + угол D). Мы уже показали, что сумма углов A и D меньше 180 градусов, поэтому угол AOD равен 180 градусов минус сумма угла A и угла D.
- Угол AOD = 180 - (угол A + угол D)
- Но поскольку угол A = угол B и угол D = угол C, мы можем переписать это выражение:
- Угол AOD = 180 - (угол A + угол D) = 180 - (угол B + угол C) = 180 - угол B - угол C

И мы знаем, что в равнобедренном треугольнике BCD угол B = угол C. Поэтому угол AOD = 180 - угол B - угол C = 180 - угол C - угол C = 180 - 2угол C.

Но в равнобедренных треугольниках угол C равен углу при основании, поэтому угол C = угол BCD.

Следовательно, угол AOD = 180 - 2угол C = 180 - 2угол BCD.

Если угол BCD равен 90 градусов, то угол AOD = 180 - 2 * 90 = 180 - 180 = 0 градусов.

0 градусов - это угол, при котором прямая AD пересекает прямую ВС под прямым углом.

Следовательно, мы доказали, что AD перпендикулярно ВС.