Пусть треугольник ABC: AB = BC ; AA₁ , BB₁ и CC₁ медианы данного треугольника; O точка пересечения медиан. OM⊥AB, ON ⊥ CB. OM= ON =8 . Ясно что OB₁ ⊥ AC ( медиана BB₁ одновременно и высота) . OB₁ =5. На рисунке достаточно показать ΔABC, медиана BB₁ и OM ⊥AB). OB =2*OB₁ =2*5 =10 ; BB₁ =3*OB₁=3*5=15.(свойство медиан). Из ΔBMO по теореме Пифагора : BM =√(BO² -OM²) =√(10² -8²) =6. (BMO Пифагорова Δ: 2*3 ;2*4 ;2*5) ΔBB₁A ~ ΔBMO ⇒BB₁/BM=BA/BO =AB₁/OM. 15/6 =BA/10 =AB₁/8 ⇔{15/6 =BA/10 ;15/6=AB₁/8 . ⇒BA=25 ; AB₁ =20 . AC =2*20 =40.
Ладно, это одна из "любимых" тем - тетраэдр, вписанный в куб. Я напишу решение, но вам придется разбираться и оформлять самостоятельно. а) Фигура ACB1B - правильная треугольная пирамида. В основании её равносторонний треугольник ACB1: AC = AB1 = CB1 (диагонали граней куба), и боковые ребра равны между собой BA = BC = BB1; (это просто стороны куба). Это означает, что точка B проектируется на плоскость ACB1 в центр треугольника ACB1 - точку O. (ну, у равностороннего треугольника все центры совпадают, можете выбирать, какой именно центр, но по логике это центр описанной окружности). То есть, BO перпендикулярно плоскости ACB1. Фигура ACB1D1 - тоже правильная треугольная пирамида, причем у неё равны между собой все ребра (все ребра этой пирамиды - диагонали граней куба). Поэтому D1O перпендикулярно плоскости ACB1; (аналогично предыдущему абзацу). Поскольку через точку O можно провести только один перпендикуляр к плоскости ACB1, точки B, O, D1 лежат на одной прямой, перпендикулярной плоскости ACB1, что и требовалось доказать. б) Легко видеть, что прямая C1D перпендикулярна плоскости A1D1C (в этой плоскости еще и точка B лежит), потому что C1D перпендикулярна D1C и A1D1 (A1D1 перпендикулярная грани CC1D1D). Точно также прямая A1D перпендикулярная плоскости AD1C1 (тоже, кстати, проходящей через точку B). Поэтому (внимание! это - решение!) угол между плоскостями равен углу между прямыми A1D и C1D. Поскольку треугольник A1DC1 - равносторонний, искомый угол равен 60°
Ясно что OB₁ ⊥ AC ( медиана BB₁ одновременно и высота) .
OB₁ =5.
На рисунке достаточно показать ΔABC, медиана BB₁ и OM ⊥AB).
OB =2*OB₁ =2*5 =10 ; BB₁ =3*OB₁=3*5=15.(свойство медиан).
Из ΔBMO по теореме Пифагора :
BM =√(BO² -OM²) =√(10² -8²) =6. (BMO Пифагорова Δ: 2*3 ;2*4 ;2*5)
ΔBB₁A ~ ΔBMO ⇒BB₁/BM=BA/BO =AB₁/OM.
15/6 =BA/10 =AB₁/8 ⇔{15/6 =BA/10 ;15/6=AB₁/8 .
⇒BA=25 ; AB₁ =20 . AC =2*20 =40.
ответ: 25 ,25 , 40.