хелп номер 1 )Около цилиндра описан шар. отрезок, соединяющий центр шара с точкой окружности основания цилиндра, равен 8 см и образует с осью цилиндра угол 60°. найдите площадь боковой поверхности цилиндра.
2) около цилиндра описан шар и в него вписан шар. Найти отношение обьемов шаров
Пусть радиус цилиндра равен R, радиус описанного шара равен r, а отрезок, соединяющий центр шара с точкой окружности основания цилиндра, равен 8 см.
По теореме Пифагора в треугольнике, образованном радиусом шара, отрезком, соединяющим центр шара с точкой окружности основания цилиндра, и высотой этого треугольника (проекцией радиуса шара на ось цилиндра), выполняется следующее соотношение: r^2 = (R-h)^2 + 8^2.
Далее, зная, что отрезок, соединяющий центр шара с точкой окружности основания цилиндра, равен 8 см, и что этот отрезок образует с осью цилиндра угол 60 градусов, мы можем расположить треугольник, образованный радиусом шара, этим отрезком и высотой, на плоскости.
Такой треугольник будет равносторонним, потому что угол при основании равен 60 градусов, и его соответствующие стороны (радиус шара и отрезок до точки на окружности основания цилиндра) равны. Значит, отрезок R-h, являющийся высотой треугольника, будет равен 8/√3, а значит, r^2 = (8/√3)^2 + 8^2.
Подставляя значения и вычисляя, получаем: r^2 = 64/3 + 64 = (64 + 192)/3 = 256/3.
Теперь найдем площадь боковой поверхности цилиндра. Боковая поверхность цилиндра представляет собой прямоугольник, ширина которого равна окружности основания цилиндра (2πR), а высота равна высоте цилиндра (h). Таким образом, площадь боковой поверхности цилиндра равна S = 2πRh.
Заметим, что радиус основания цилиндра R равен радиусу описанного шара r. Таким образом, S = 2πrh.
Подставим значения и вычислим: S = 2π * (8/√3) * (8) = 128π/√3.
Таким образом, площадь боковой поверхности цилиндра равна 128π/√3 квадратных сантиметров.
2) Чтобы найти отношение объемов шаров, описанного и вписанного в цилиндр, воспользуемся соотношением объемов шара и цилиндра.
Объем шара равен (4/3)πr^3, где r - радиус шара.
Объем цилиндра равен πR^2h, где R - радиус основания цилиндра, h - высота цилиндра.
Заметим, что радиус шара r равен радиусу основания цилиндра R.
Тогда, отношение объемов шаров будет равно: (4/3)πr^3 / πR^2h.
Сокращаем π и получаем: (4/3)r^3 / R^2h.
Подставляем r = 8/√3 (из предыдущего пункта) и R = 8 и вычисляем:
Отношение объемов шаров = (4/3) * (8/√3)^3 / 8^2 * h = (4/3) * (512/3√3) / 64h = (256 / 9√3) / 64h = 4 / 9√3h.
Таким образом, отношение объемов шаров равно 4 / 9√3h.