Угол между прямой и плоскостью - угол между наклонной и её проекцией на плоскость.
Чтобы найти проекцию наклонной B1C на плоскость (AA1C) спроецируем точку B1, то есть проведем перпендикуляр B1H к плоскости (AA1C).
Прямая перпендикулярна плоскости если она перпендикулярна двум пересекающимся прямым в плоскости.
Любая прямая в плоскости (A1B1C1) перпендикулярна СС1 (боковые ребра прямой призмы перпендикулярны основаниям). Поэтому достаточно опустить перпендикуляр B1H на A1С1.
B1H⊥A1С1, B1H⊥CC1 => B1H⊥(AA1C)
HC - проекция наклонной B1C на плоскость (AA1C)
B1CH - искомый угол
△B1CH - прямоугольный (B1H⊥HC)
7) B1H =√3/2 (высота в равностороннем △A1B1C1)
B1C =√3 (△B1CB, теорема Пифагора)
sin(B1CH) =B1H/B1C =1/2
B1CH=30
8) HC1 =4 (B1H высота и медиана)
HC =5 (△HCC1 египетский)
cos(B1CH) =HC/B1C =5/10 =1/2
B1CH=60
Дано: ΔABC - равнобедренный, АВ=ВС, AD - биссектриса, BD= 10 см, CD= 15 см.
Найти: Рabc.
Решение.
Так как по условию BD= 10 см, CD= 15 см, то ВС= BD+CD= 10+15= 25 (см).
Поскольку АВС - равнобедренный треугольник, то AB=BC= 25 см.
По свойству биссектрисы угла треуголька:
биссектриса угла треугольника делит противоположную сторону на части, пропорциональные прилежащим сторонам треугольника.
Т.е. AB : BD = AC : CD;
25:10= AC:15;
AC= 25•15 : 10;
AC= 37,5 (см).
Находим периметр треугольника АВС:
Рabc = AB+BC+AC= 25+25+37,5= 87,5 (см).
ОТВЕТ: 87,5 см.
Объём призмы равен произведению её основания и высоты. Судя по данным условия, призма прямая с прямоугольными треугольниками в основаниях.
Угол СNВ=90°⇒ СN - высота основания.
Высота прямоугольного треугольника, проведенная к гипотенузе, есть среднее пропорциональное между отрезками, на которые она её делит:
СN=√AN•BN=√8•2=4
Высота призмы СС1=NC•tg30°=4/√3
S(ABC)=0,5•CN•(AN+BN)=20
V(призмы)=20•4/√3=80/√3 ед. объёма.