Пусть ВС и AD — диагонали параллелограмма AВDС (черт. 226). Докажем, что АО = OD и СО = ОВ. Для этого сравним какую-нибудь пару противоположно расположенных треугольников, например /\ AОВ и /\ СОD. В этих треугольниках АВ = СD, как противоположные стороны параллелограмма; / 1 = / 2, как углы внутренние накрест лежащие при параллельных АВ и СD и секущей AD; / 3 = / 4 по той же причине, так как АВ || СD и СВ — их секущая . Отсюда следует, что /\ AОВ = /\ СОD. А в равных треугольниках против равных углов лежат равные стороны. Следовательно, АО = OD и СО = ОВ.
Прямоугольный треугольник ABC разделен высотой CD,проведенной к гипотенузе,на два треугольника-BCD и ACD. Радиусы окружностей,вписанных в эти треугольники,равны 4 и 3 соответственно. Найдите радиус окружности,вписанной в треугольник ABC. Высота делит прямоугольный треугольник на 2 подобных прямоугольных треугольника, из этого следует, что их соответствующие стороны пропорциональны так же как и радиусы вписанных окружностей. Коэфициент пропорциональности равен 4/3, тогда СD/АD=4/3, СD=4х, а АD=3х, АС=5х. ВD=СD^2/AD=16x^2/3x=16x/3, АВ=16x/3+3х=25х/3 Из подобия треугольников АВС и АСD имеем АВ/АС=R/3; (25х/3)/5х=R/3; R=25х/5х=5см.
/ 1 = / 2, как углы внутренние накрест лежащие при параллельных АВ и СD и секущей AD;
/ 3 = / 4 по той же причине, так как АВ || СD и СВ — их секущая . Отсюда следует, что /\ AОВ = /\ СОD. А в равных треугольниках против равных углов лежат равные стороны. Следовательно, АО = OD и СО = ОВ.