См. рисунок. АЕ=СЕ => ЕР- высота , медиана и биссектриса для равнобедр. треуг. АЕС т.е. угол АРЕ=90. АР=РС и АС=2АВ => AB=AP => треуг. BAP равнобедр. => биссектриса АЕ - высота и медиана, т.е. ВО=ОР и все углы при т.О=90 теперь, треугольники ВОЕ и РОЕ равны по сторонам ВО=ОР, ОЕ- общая и угол между ними =90,отсюда ВЕ=РЕ, отсюда треугольники АВЕ и АРЕ равны. Но т.к. угол АРЕ=90 (см. выше), тогда и АВЕ=90. Все, нашли.
Но тут можно продолжить изыскания. Мы имеем прямоугольный треугольник, у которого один катет АВ в два раза меньше гипотенузы АС. Значит, он лежит против угла в 30 градусов. Значит, наш треугольник имеет углы в 30,60 и 90 градусов.
- высоты: Н,
- медианы: М,
- биссектрисы: Б.
По теореме косинусов находим один из углов при основании: cos A = (b² + c² - a²) / (2bc) =
=(14² + 18² - 10²) / (2*14*18) = (196 + 324 - 100) / 504 = 420 / 504 = 0.833333.
cos A = 0.8333333 Аrad = 0.5856855 Аgr = 33.55731
Теперь находим длины отрезков, на которые делит высота сторону АB.
АН = AC*cos A = 14*0.833333 = 11.666667.
Деление стороны АВ биссектрисой определим из свойства биссектрисы (отрезок АБ = х):
х/АС = (18 - х) / ВС
10х = 252 - 14х
24х = 252
х = АБ = 252 / 24 = 10,5.
Медиана делит сторону АВ пополам: АМ = 18 / 2 = 9.
Отсюда ответ:
АМ = 9.
МБ = 10,5 - 9 = 1,5.
БН = 11.666667 - 10,5 = 1.1666667.
НВ = 18 - 11.666667 = 6.3333333.
Можно заменить десятичные дроби на обычные:
1.1666667 = 1(1/6),
6.3333333 = 6(1/3).