Чертеж - во вложении. а) Докажем, что АВСD - параллелограмм. 1) Рассмотрим Δ АМТ и Δ ВМC. Они подобны по двум углам, т.к. ∠1=∠2 (накрест лежащие при AD||BC и секущей АС), ∠5=∠6 (вертикальные). Следовательно, АМ:МС=АТ:ВС. Т.к. по условию АМ=МN=NC, то АМ:МС=1:2 ⇒ АТ:ВС=1:2 ⇒ ВС=2АТ. Аналогично, подобны Δ PNC и Δ AND. Поэтому AD=2PC. 2) Т.к. BM||DP и АС - секущая, то ∠3=∠4=∠5=∠6. 3) Δ АМТ = Δ PNC (по стороне и прилежащим углам: АМ=NC, ∠1=∠2, ∠3=∠6) ⇒ АТ=РС ⇒ ВС=AD. Вывод: т.к. по условию ВС||AD и по доказанному BC=AD, то по признаку ABCD - параллелограмм. Доказано. б) Диагональ АС делит параллелограмм ABCD на два треугольника АВС и ADC с равными площадями. В Δ АВN ВМ - медиана ⇒ Аналогично, ответ:
Углы при основании равны (180-50)/2 = 65°. Примем длину боковых сторон АВ и ВС по 1. Тогда сторона АС = 2*1*cos 65° = 2*1* 0.4226183 = 0.8452365. Длина медианы АД равна: Подставляем длины сторон: АД=(1/2)√(2* 0,8452365²+2*1²-1²) = 0,7792383.
Теперь рассмотрим треугольник АВД. Сторона АВ(с) = 1, ВД(а) = 0,5, АД(в) = 0.7792383. По теореме косинусов: cosBAD = (b²+c²-a²)/2ab. Подставив длины сторон, получаем: cosBAD = (0.7792383²+1²-0,5²)/(2*0.7792383*1) = 0.8708583. Угол BAD = arc cos 0.8708583 = 0,5138505 радиан = 29,441464°.
а) Докажем, что АВСD - параллелограмм.
1) Рассмотрим Δ АМТ и Δ ВМC. Они подобны по двум углам, т.к. ∠1=∠2 (накрест лежащие при AD||BC и секущей АС), ∠5=∠6 (вертикальные). Следовательно, АМ:МС=АТ:ВС.
Т.к. по условию АМ=МN=NC, то АМ:МС=1:2 ⇒ АТ:ВС=1:2 ⇒ ВС=2АТ.
Аналогично, подобны Δ PNC и Δ AND. Поэтому AD=2PC.
2) Т.к. BM||DP и АС - секущая, то ∠3=∠4=∠5=∠6.
3) Δ АМТ = Δ PNC (по стороне и прилежащим углам: АМ=NC, ∠1=∠2,
∠3=∠6) ⇒ АТ=РС ⇒ ВС=AD.
Вывод: т.к. по условию ВС||AD и по доказанному BC=AD, то по признаку ABCD - параллелограмм.
Доказано.
б) Диагональ АС делит параллелограмм ABCD на два треугольника АВС и ADC с равными площадями.
В Δ АВN ВМ - медиана ⇒
Аналогично,
ответ: