ответ: б) 4 в) 3 и 11
Объяснение: б). Пусть трапеция АВСD . Диагональ АС=√15 , диагональ BD=7. О- точка пересечения диагоналей. М- середина основания ВС, N- середина стороны AD . Заметим, что MN проходит через точку О. В принципе это отдельная теорема, но мы будем считать ее известной.
Тогда ОМ это медиана прямоугольного треугольника ВОС. И по свойству медианы, проведенной из вершины прямого угла, она равна половине гиптенузы.
То есть ОМ=ВС/2
Аналогично из треугольника AOD: ON=AD/2
Тогда OM+ON=MN=(BC+AD)/2 (1)
Чтобы найти (BC+AD)/2, найдем площадь трапеции ABCD.
Так как диагонали трапеции перпендикулярны друг другу, то
S(ABCD)=AC*BD/2=7*√15/2
С другой стороны S(ABCD)=(BC+AD)/2*h (2)
, где h высота трапеции.
Проведем отрезок СТ параллельный BD до пересечения с прямой AD.
Заметим, что искомая высота трапеции ABCD будет являться и высотой в треугольнике АСТ, проведенной из вершины С ( перпендикуляр между двумя параллельными прямыми).
Заметим что угол АСТ тоже прямой и треугольник АСТ прямоугольный.
Найдем гипотенузу АТ этого треугольника .
АТ=sqrt(AC²+CT²)=sqrt(15+49)=8
Тогда высота треугольника АСТ h= AC*CT/AC=7*√15/8
Теперь из формулы (2) найдем (BC+AD)/2:
(BC+AD)/2*h= 7*√15/2
(BC+AD)/2=7*√15/2/ (7*√15/8)=4
Из формулы (1) MN= (BC+AD)/2 =4
в). Пусть трапеция АВСD . Угол ∡А= 61°, ∡D=29°.
Заметим, что PQ - средняя линия трапеции= (ВС+ AD)/2=7
=> BC+AD=14
Пусть ВС=х AD=y
=>x+y=14 (1)
Проведем через точку М отрезок МК параллельный стороне АВ и МS параллельный стороне CD. Точки К и S принадлежат отрезку АD.
Тогда в треугольнике КМS ∡К=∡А=61°, а ∡S=∡D=29°.
Тогда угол М треугольника КМР равен:
∡М=180°-61°-29°=90°
То есть треугольник КМS прямоугольный, где гипотенуза
КS= AD-BC=y-x
MN в этом треугольнике медиана, и по теореме о медиане в прямоугольном треугольнике медиана равна половине гипотенузы.
MN=4= (y-x)/2
y-x=8 (2)
Решая систему уравнений (1) и (2) получим х=3 у=11
АН⊥ВС.
СС₁⊥(АВС), значит АН⊥СС₁.
АН перпендикулярен двум пересекающимся прямым плоскости (ВСС₁), значит АН⊥(ВСС₁).
Проведем КТ║АН.
Тогда КТ⊥(ВСС₁).
Плоскость (С₁КТ) проходит через прямую КТ, перпендикулярную (ВСС₁), значит (С₁КТ)⊥(ВСС₁).
С₁КТ - искомое сечение.
С₁Т - проекция С₁К на плоскость (ВСС₁), значит ∠КС₁Т - угол между прямой С₁К и плоскостью (ВСС₁).
∠КС₁Т - искомый. Обозначим его α.
ΔАВС: АН = АВ√3/2 = 4√3/2 = 2√3 как высота равностороннего треугольника.
КТ = АН/2 = √3 как средняя линия ΔАСН.
ΔСС₁К: по теореме Пифагора
С₁К = √(СС₁² + КС²) = √(6 + 4) = √10
ΔС₁КТ: КТ - перпендикуляр к плоскости (ВСС₁), прямая С₁Т лежит в этой плоскости, значит КТ⊥С₁Т. Треугольник прямоугольный.
sinα = KT/C₁K = √3/√10
cosα = √(1 - sin²α) = √(1 - 3/10) = √(7/10) = √70/10