2. В треугольнике, периметр которого составляет 36 см, стороны относятся, как числа 5:6:7. Найдите длину средней линии треугольника, параллельной меньшей стороне.
Шаг 1. Для удобства описания решения позволю себе обозначить O как O2, F как F1 и E как F2. Шаг 2. Обозначим точку пересечения AB и O1 O2 как D. Шаг 3. Решение будет симметрично относительно прямой AB, поэтому индексы я опускаю. Рассматриваем треугольник OBD: угол D прямой. значит, OD^2 = OB^2 - BD^2. Шаг 4. Рассматриваем треугольник OMD: угол D прямой, значит, OM^2 = OD^2 + MD^2 = OB^2 - BD^2 + MD^2. Шаг 5. Рассматриваем треугольник OMF: угол F прямой, значит, MF^2 = OM^2 - OF^2 = OB^2 - BD^2 + MD^2 - OF^2. Вспоминаем, что OB = OF = R - радиус окружности, поэтому, MF^2 = MD^2 - BD^2. Равенство справедливо как для первой окружности, так и для второй. Осталось подставить соответствующие индексы..
Из любой точки, не лежащей на данной прямой, можно опустить на эту прямую перпендикуляр, и притом только один.
Доказательство: предположим, что на плоскости, которой принадлежат и прямая, и точка, таких перпендикуляров существует два. Поскольку точка вне прямой принадлежит обоим перпендикулярам, получаем треугольник с вершиной в этой точке и основанием, расположенном на прямой. Так как оба перпендикуляра составляют с прямой углы по 90° (углы при основании треугольника) плюс угол при вершине, то сумма внутренних углов такого треугольника получается больше 180°, - а это на плоскости осуществить невозможно. Следовательно, наше предположение о том, что через одну точку к данной прямой на плоскости можно провести больше одного перпендикуляра, - не верно и такой перпендикуляр существует только один. Теорема доказана.
PS построения не сложные. - прямая, 2 точки на ней, одна точка вне прямой и два отрезка, соединяющие эту точку с точками на прямой..))) Но, если очень надо, - то файлик внизу с рисунком..)) И еще. Упоминание о том, что все это происходит на плоскости, - желательно. Дело в том, что всем нам с детства знакомы меридианы на географической сетке Земного шара. Так вот каждый меридиан перпендикулярен экватору, и все меридианы сходятся аж в двух точках : в Северном и Южном полюсах
Шаг 2. Обозначим точку пересечения AB и O1 O2 как D.
Шаг 3. Решение будет симметрично относительно прямой AB, поэтому индексы я опускаю.
Рассматриваем треугольник OBD: угол D прямой. значит, OD^2 = OB^2 - BD^2.
Шаг 4. Рассматриваем треугольник OMD: угол D прямой, значит, OM^2 = OD^2 + MD^2 = OB^2 - BD^2 + MD^2.
Шаг 5. Рассматриваем треугольник OMF: угол F прямой, значит, MF^2 = OM^2 - OF^2 = OB^2 - BD^2 + MD^2 - OF^2.
Вспоминаем, что OB = OF = R - радиус окружности, поэтому, MF^2 = MD^2 - BD^2.
Равенство справедливо как для первой окружности, так и для второй. Осталось подставить соответствующие индексы..