т синусов
напротив стороны в 6 см лежит третий угол , равный 180-60-45=75
6/sin75=a/sin60=b/sin45
sin75=sin(45+30)=sin45*cos30+cos45*sin30=V2/2*V3/2+V2/2*1/2=
=(V6+V2)/4
V-знак корня
6/sin75=6:(V6+V2)/4)=24/(V6+V2)
a)если 6/sin75=a/sin60, то
24:(V6+V2)=a:(V3/2)
24*V3/2=a(V6+V2)
12V3=a(V6+V2)
a=12V3/(V6+V2)- чтобы избавиться от иррациональности в знаменателе-домножу дробь на V6-V2
тогда a=12V3*(V6-V2)/(6-2)=3V3(V6-V2)=3V18-3V6
a=9V2-3V6-вторая сторона
b)6/sin75=b/sin45
24:(V6+V2)=b:(V2/2)
24/(V6+V2)=2b/V2
24V2=2b(V6+V2)
b=24V2/(2(V6+V2))=12/(V3+1)-избавляюсь от иррациональности в знаменателе, домножив дробь на V3-1 (и числитель и знаменатель-тогда значение дроби не изменится)
b=12(V3-1)/(3-1)=6(V3-1)=6V3-6-третья сторона
P=6+9V2-3V6+6V3-6=9V2-3V6+6V3
У этой задачки есть очень наглядное решение.
Можно взять три взаимно перпендикулярные координатные оси и разместить четыре вершины прирамиды в точках (0,0,0) (1,0,0) (0,1,0) (0,0,1). Легко убедиться, что любая из вершин, кроме (0,0,0), является вершиной трехгранного угла, заданного в задаче.
Сама пирамида при этом представляет собой правильную треугольную пирамиду, "боковые" грани которой - равнобедренные прямоугольние треугольники, а "основание" - правильный треугольник с вершинами в точках (1,0,0) (0,1,0) (0,0,1).
Поэтому искомый угол равен 60 градусам.
Эту же мысль (трудно назвать это решением - уж больно просто:)) можно выразить без упоминания координатных осей. Дело в том, что упомянутая пирамида - это часть обыкновенного куба, отсекаемая плоскостью, проходящей через концы трех ребер, имеющих общую вершину.
Берется какая -то вершина куба АBCDA1B1C1D1, например, А, и проводится сечение через точки В, D и А1, у пирамиды А1BDA все трехгранные углы при вершинах "основания" A1BD соответствуют условию задачи. В самом деле, рассмотрим, например, вершину D. Треугольники ADB и ADA1 - равноберенные прямоугольние, поэтому углы АDB и ADA1 равны 45 градусов. Что же касается двугранного угла между плоскостями АDB и ADA1, то это - двугранный угол между гранями куба :), то есть он равен 90 градусам.
Поэтому трехгранный угол при вершине D пирамиды А1BDA удовлетворяет условию задачи. По условию задачи, нужно найти угол A1DB, но он очевидно равен 60 градусам, поскольку треугольник A1DB равносторонний.